Лекция 2. Признаки сходимости положительных рядов.

План:

1. Признаки сравнения.

2. Признак Даламбера.

3. Признак Коши.

4. Интегральный признак.

I. Мы рассмотрим ряды, все члены которых неотрицательны. Мы будем называть такие ряды рядами с положительными членами. Ряды, все члены которых строго больше нуля, мы будем называть рядами со строго положительными членами. Ряды с положительными членами сами по себе часто встречаются в приложениях. Сразу отметим основное характеристическое свойство рядов с положительными членами: последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей.

Теорема (признак сходимости). Для того, чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Достаточность вытекает из того, что последовательность частичных сумм не убывает и, стало быть, для сходимости этой последовательности достаточно, чтобы она была ограничена. Ч.т.д.

Мы установим ряд признаков, позволяющих сделать заключение о сходимости или расходимости рассматриваемого ряда, посредством сравнения его с другим рядом, сходимость или расходимость которого известна.

Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть и - два ряда с положительными членами. Пусть, далее, для всех номеров справедливо неравенство

. (1)

Тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда , а расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим -ые частичные суммы рядов и соответственно через и . Из неравенства (1) заключаем, что . Последнее неравенство означает, что ограниченность последовательности частичных сумм влечет за собой ограниченность частичных сумм и, наоборот, неограниченность последовательности частичных сумм влечет за собой неограниченность последовательности частичных сумм . В силу доказанного выше признака сходимости ряда с положительными членами теорема доказана.

Замечание 1. В условии теоремы 1 можно требовать, чтобы неравенство (1) было выполнено не для всех номеров , а лишь начиная с некоторого номера .

Замечание 2. Теорема 1 останется справедливой, если в условии этой теоремы заменить неравенство (1) следующим неравенством

. (2)

Теорема 2 (второй признак сравнения). Если и - ряды со строго положительными членами и если существует предел

(конечный или бесконечный),

тогда: 1) , то ряды и одновременно сходятся или расходятся;

2) если , то () из сходимости ряда следует сходимость ряда

3) если , то () из расходимости ряда следует расходимость ряда

Доказательство. Утверждения 2) и 3) вытекают из теоремы 1. Докажем утверждение 1). Раз , . Поэтому для следует . Остается применить теорему 1, по которой мы получим, что оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 3 (третий признак сравнения). Пусть и - два ряда со строго положительными членами. Пусть, далее, для всех номеров справедливо неравенство

. (3)

Тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда , расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда .

Доказательство. Запишем неравенство (3) для , где - любой номер. Будем иметь

, , ….., .

Умножая почленно все написанные неравенства, получим

или .

Поскольку в последнем неравенстве величина представляет собой положительную постоянную, не зависящую от номера , то в силу замечания 2 к теореме 1 теорема доказана.

Замечание 3. В условии теоремы 3 можно требовать, чтобы неравенство (3) было выполнено не для всех номеров , а лишь начиная с некоторого номера (ибо отбрасывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость ряда).

Обе эти теоремы называются теоремами сравнения или признаками сравнения.

Примеры. 1). Исследовать сходимость ряда .

Применим второй признак. Согласно первому замечательному пределу, выполняется равенство:

.

Поэтому ряды и ведут себя одинаково по отношению сходимости. Как известно, гармонический ряд расходится, поэтому данный ряд тоже расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Сравнивая с , замечаем, что арии всех . А т.к. ряд

- сходится (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ), то по признаку сравнения, данный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , то нарушается необходимое условие сходимости и ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. для , а - общий член расходящегося гармонического ряда, то расходится по признаку сравнения.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения не дает ответа, т.к. ;

поэтому, воспользуемся следствием из признака сравнения: и . Т.к. получен конечный и отличный от нуля предел, то из расходимости гармонического ряда по следствию из признака сравнения данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. (знак ~ означает эквивалентность последовательностей при ), то данный ряд ведет себя ( в смысле сходимости) так же, как ряд А этот ряд сходится как обобщенный гармонический с показателем . Значит и данный ряд сходится.

II. К признакам сравнения непосредственно примыкают два наиболее употребляемых признаков сходимости рядов с положительными членами – признаки Даламбера и Коши. Они основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом

, (4)

или расходящимся рядом

. (5)

Теорема (признак Даламбера). Если для всех номеров , или по крайней мере начиная с некоторого номера , справедливо неравенство

, (), (6)

то ряд с положительными членами сходится (расходится).

Если существует предел

, (7)

то ряд сходится при и расходится при .

Доказательство. I. Для доказательства первой части теоремы положим . Тогда , где , , и мы можем переписать неравенство (6) в виде

. (8)

Так как ряд совпадающий с рядом (4) ((5)), сходится (расходится), то неравенство (8) на основании третьей теоремы сравнения гарантирует сходимость (расходимость) ряда . Ч.т.д.

II. Эту часть теоремы называют обычно признаком Даламбера в предельной форме.

Если , то найдется положительное число такое, что и . По определению предела последовательности, для указанного найдется номер такой, что при

. (9)

Число играет роль в первой части теоремы. Ряд сходится.

Если же , то найдется положительное число такое, что и . В этом случае на основании левого из неравенств (9) получим

при .

Ряд расходится на основании первой части теоремы. Ч.т.д.

Замечание. Если в условиях теоремы Даламбера , то о сходимости ряда мы ничего определенного сказать не можем, т. е. признак Даламбера здесь «не действует».

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.

Это ряд с положительными членами, поэтому можно применить признак Даламбера в предельной форме. Имеем

, .

Найдем предел этого отношения

,

т.е. исследуемый ряд сходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера:

значит ряд сходится.

III.Теорема (признак Коши). I. Если для всех номеров , или по крайней мере начиная с некоторого номера , справедливо неравенство

, (10)

то ряд с положительными членами сходится (расходится).

II. Если существует предел

, (11)

то ряд сходится при и расходится при .

Доказательство. I. Для доказательства первой части теоремы положим . Тогда из неравенства (10) получим

. (12)

Так как ряд , совпадающий с рядом (4) ((5)), сходится (расходится), то неравенство (12) на основании первой теоремы сравнения гарантирует сходимость (расходимость) ряда . Ч.т.д.

II. Вторую часть теоремы называют признаком Коши в предельной форме.

Если , то найдется положительное число такое, что и . По определению предела последовательности, для указанного найдется номер такой, что при

. (13)

Число играет роль в первой части теоремы. Ряд сходится.

Если же , то найдется положительное число такое, что и . В этом случае на основании левого из неравенств (13) получим

при .

Ряд расходится на основании первой части теоремы. Ч.т.д.

Признак Коши сильнее, чем признак Даламбера. Там, где можно применит признак Даламбера, применяется и признак Коши. А есть ряды, в которых применяется признак Коши, но нельзя применить признак Даламбера.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.

Это ряд с положительными членами, поэтому можно применить признак Коши в предельной форме. Имеем

.

Тогда . Таким образом, предельный признак Коши доказывает сходимость исследуемого ряда.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. общий член ряда представляют собой -ю степень некоторого выражения, то применим признак Коши в предельной форме:

ряд сходится.

IY. Признаки Даламбера и Коши иногда оказываются непригодными.

Теорема Коши –Маклорена (интегральный признак). Пусть функция неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой , где - любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд

сходится в том и только в том случае, когда существует предел при последовательности

.

Доказательство. Пусть - любой номер, удовлетворяющий условию , а - любое значение аргумента из сегмента . Так как по условию функция не возрастает на указанном сегменте, то для всех из указанного сегмента справедливо неравенство

. (14)

Функция , будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте . Более того, из неравенств (14) и из свойств вытекает, что

или . (15)

Неравенства (15) установлены нами для любого . Запишем эти неравенства для значений , равных где - любой номер, не превосходящий .

,

,

……………………………….,

.

Складывая почленно записанные неравенства, получим

. Пусть - сумма последнего ряда, учитывая (15), мы можем переписать последнее неравенство в виде

. (16)

Неравенства (16) позволяют без труда доказать теорему.

Пример 1. Рассмотрим три числовых ряда

где .

Ясно, что первый ряд расходится, а третий ряд сходится. Что же касается второго ряда, то его члены в силу неравенства (начиная с некоторого при любом ), занимают промежуточное положение, и простыми сравнениями лежит вопрос о его сходимости не удается. Зато интегральный признак дает ответ и в этом случае.

Возьмем функцию , ; она непрерывна и убывает. Вычислим

.

Из расходимости этого несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда.

Пример 2. Рассмотрим ряд

при . Возьмем для этого ряда функцию , и вычислим , .

Из сходимости этого интеграла следует сходимость ряда.

С другой стороны, для ряда

рассмотрение функции , и приводит к неограниченно возрастающей функции от . Так что несобственный интеграл расходится, поэтому расходится и исследуемый ряд.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Даламбера:

значит и , т.е. применение признаков Даламбера или Коши не дает ответа о сходимости. Интегральный признак Коши применить затруднительно, т.к. общий член ряда содержит факториалы. Применим признак сравнения. Оценим общий член ряда:

Увеличивая в каждом множителе начиная со второго числители и знаменатели на единицу и учитывая, что (поскольку получаем неравенство

Т.к. , то и , или , и , следовательно, . Но ряд с общим членом сходится как обобщенный гармонический с показателем Значит, по признаку сравнения, сходится и исследуемый ряд.