Лекция 10. Преобразование Фурье. Свойства.

План :

1.Интеграл Фурье.

2.Понятие интеграла в смысле главного значения.

3.Преобразование Фурье и его свойства.

1.Пусть на интервале задана функция . Интегральным преобразованием функции называется функция

, где - фиксированная для данного преобразования функция, называемая ядром преобразования.

Всякая функция , которая на отрезке удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, может быть на этом отрезке представлена тригонометрическим рядом

. (1)

Коэффициенты и ряда (1) определяются по формулам Эйлера-Фурье

, , . (2)

Ряд в правой части равенства (1) можно записать в иной форме. С этой целью внесем в него из формул (2) значения коэффициентов, подведем под знаки интегралов и , и используем формулу «косинус разности». Получим,

. (3)

Если функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье на любом конечном отрезке оси , и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. сходится, то для нее справедлива получаемая предельным переходом из ряда Фурье (3) периодической функции с периодом при интегральная формула Фурье

. (4)

Теорема. Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси и имеет вместе со своей производной конечное число точек разрыва первого рода на любом отрезке , то справедливо равенство (4). При этом во всякой точке , являющейся точкой разрыва первого рода функции , значение интеграла в правой части (4) равно .

Интеграл, стоящий в правой части равенства (4), называется интегралом Фурье.

II. Предполагая абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, рассмотрим интеграл

Этот интеграл равномерно сходится для , так как

и поэтому представляет собой непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от . Но тогда

.

С другой стороны, интеграл есть четная функция переменной , так что

.

Поэтому интегральную формулу Фурье можно записать так:

(5)

Умножим равенство

на мнимую единицу и прибавим к равенству (5). Получим

,

откуда в силу формулы Эйлера , будем иметь

.

Это комплексная форма интеграла Фурье. Здесь внешнее интегрирование по понимается в смысле главного значений по Коши

.

III. Пусть функция является кусочно-гладкой на любом конечном отрезке оси и абсолютно интегрируемой на всей оси.

Определение. Функция

называется преобразованием Фурье функции .

Это интегральное преобразование функции на интервале с ядром .

Используя интегральную формулу Фурье

,

получаем

.

Это так называемое обратное преобразование Фурье, дающее переход от к .

Пример. Найти преобразование Фурье функции .

Решение. Применим к этой функции формулу преобразования Фурье

. (6)

Продифференцируем обе части:

.

Интегрируя по частям, получим

.

Внеинтегральное слагаемое обращается в нуль, и мы получим

,

откуда . Полагая, что , найдем . В силу (6) имеем

.

Таким образом, .

Преобразование Фурье обладает следующими свойствами:

1. Линейность. Если и преобразования Фурье функции и соответственно, то при любых постоянных и преобразованием Фурье функции будет функция .

2. Если есть преобразования Фурье абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции , то ограничена при всех .