Лекция 1. Числовые ряды, их сходимость.

План :

Определения.
Критерии сходимости рядов.

I. Пусть дана некоторая числовая последовательность .

Определение. Числовым рядом по этой последовательности называется функция, по которой каждому набору первых элементов этой последовательности ставится в соответствие их сумма .

Числовой ряд обозначается так:

Определение. Конечные суммы вида называются частичными суммами данного ряда.

Элементы последовательности называются членами ряда, элемент называется общим членом ряда.

Определение. Пусть дан ряд . Тогда ряд называется остатком порядка .

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм , при этом сам предел называется суммой ряда и пишут . Если предел частичных сумм бесконечен или не существует, то такой ряд называется расходящимся.

Примеры: 1)

3) . Найдем частичные суммы этого ряда

Найдем предел: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1.

4) .

Ясно, что

. Поэтому ряд расходится.

Значит, частичные суммы образуют последовательность , которая вообще не имеет предела, поэтому этот ряд также расходится.

Пример. Рассмотрим гармонический ряд

Ясно, что , .

Покажем, что гармонический ряд расходится, для этого применим неравенство

и оценим снизу частичную сумму - го порядка

Значит, выполняется неравенство

Раз частичные суммы ряда имеют бесконечный предел, то сам ряд является расходящимся.

Следовательно, если ряд сходится, то его общий член всегда стремится к 0. Если же общий член ряда стремится к 0, то сам ряд может сходиться, но может и расходиться.

Наконец, если общий член ряда стремится к 0, то данный ряд точно расходится.

3. Рассмотрим свойства сходящихся рядов:

1. Если данный ряд является сходящимся, то его любой остаток также является сходящимся. И обратно, если хотя бы один остаток ряда сходится, то сам ряд также сходится.

2. Если к данному ряду присоединить конечное число любых новых слагаемых или же из данного ряда отбросить любое конечное число слагаемых, то это не скажется на сходимости ряда, т.е. если ряд был сходящимся, то новый ряд так же будет сходиться, а если ряд был расходящимся, то новый ряд также будет расходиться. Хотя сходимость ряда не нарушается, сумма ряда может измениться.

3. Сходящиеся ряды обладают свойством линейности.

4. Если - отличная от нуля постоянная, , то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

II. Теорема 1 (критерий Коши). Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер такой, что для всех номер , удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел

. (1)

Доказательство. Эта теорема сводится к известному критерию Коши о сходимости числовых последовательностей. Действительно, сходимость ряда эквивалентна сходимости его частичных сумм . Согласно критерию Коши числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.е.

и .

Ясно, что -

Теорема 2 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член (при ).

Заметим, что стремление к нулю общего члена ряда, будучи необходимым условием, не является достаточным условием сходимости ряда. Другими словами, существуют расходящиеся ряды, у которых общий член стремится к нулю.

Доказательство. Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и для любого найдется номер такой, что при . Пусть дано .

Согласно теореме 1 найдется номер такой, что при и для любого натурального выполняется неравенство (1). В частности, при это неравенство имеет вид

. (2)

Если теперь положить номер равным , то при в силу неравенства (2) получим . Ч.т.д.

Примеры: 1) Показать, что для ряда необходимое условие сходимости выполняется, но сам ряд расходится.

Решение. Так как , то необходимое условие сходимости выполняется. Для доказательства расходимости данного ряда оценим его -ю частичную сумму:

Значит, . Так как при , то .

2) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда .

Решение. Пусть - произвольное фиксированное число. Докажем, что существует такое, что из справедливости неравенства вытекает справедливость неравенства

(1)

при любом натуральном (т.е. число не должно зависеть от). Имеем:

Значит, при любом . Т.к. неравенство равносильно неравенствам и , то полагая

получаем, что из справедливости неравенства следует справедливость неравенства , а значит и справедливость неравенства (1) при любом .

Для любого числа существует число (вычисляемое по формуле (4), зависящее от и не зависящее от , такое, что неравенство влечет за собой справедливость неравенства (3) (при любом ). По критерию Коши ряд сходится.