Пусть, как и выше, – область комплексной
плоскости, ограниченная эллипсом
с фокусами
и 1 и суммой полуосей
, и пусть при
и
класс
состоит из всех
вещественных аналитических на отрезке
функций
, для которых существуют аналитические продолжения
в области
с
при
.
Будем считать также, что в пространстве определена метрика
.
Тогда
справедлива
Теорема.
При любых и
для
-энтропии метрического пространства
имеет место
соотношение эквивалентности
~
.
Доказательство. По основной теореме
об энтропиях для фиксированных и
при любом
выполняется
неравенство
.
Более того,
если на отрезке определить
вспомогательные пространства рядов по полиномам Чебышева
,
то по леммам 1 и 2 из предыдущего параграфа получим (заметим, что на этих пространствах
определена одна и та же метрика). Отсюда в силу монотонности по множеству
-емкости и
-энтропии имеем
,
.
Для оценки построим
-сеть для
. Для этого, исходя из полиномов Чебышева
(
), при фиксированных
и натуральном
(значения
и
подберем ниже)
построим полиномы вида
,
где - некоторые целые
числа. Эти числа
подбираем экономно
так, чтобы полиномы
принадлежали
.
Для этого
достаточно потребовать выполнения следующих условий:
,
(
),
а значит, должны выполняться неравенства
,
(
). (1)
Выясним
теперь, при каких значениях и
семейство
образует
-сеть для множества
.
Возьмем из
пространства произвольный ряд
.
Подберем
целые числа (
) так, чтобы выполнялось неравенство
.
Тогда для с такими
получим
.
Выберем и
так, чтобы
и
. Тогда
,
.
Значит, можно взять ,
, чтобы получить
,
т.е. чтобы семейство полиномов образовало
-сеть для пространства
.
Оценим теперь
минимальное число элементов в -сети для
. Для этого воспользуемся неравенствами (1). Количество
элементов в семействе
равно количеству
различных упорядоченных наборов целых чисел (
), удовлетворяющих неравенствам (1). Их же количество,
очевидно, не превосходит произведения
.
В силу
достаточной малости можно считать, что
. Тогда
.
Следовательно,
подставив значения ,
и сохранив главные
члены в оценках, получим
(
).
Оценим
теперь снизу , построив
-цепь из элементов
, а именно из полиномов вида
,
причем , натуральное
и целые коэффициенты
подберем ниже так,
чтобы в этой
-цепи количество
элементов получилось достаточно близким
к количеству элементов максимальной
-цепи множества
.
Так как , должны выполняться неравенства
,
(
).
Выберем их
так, чтобы выполнялись еще неравенства
,
(
),
а значит, неравенства
,
(
). (2)
Чтобы
элементы при условии (2)
образовали
-цепь, для любых двух различных элементов
и
из них должно
выполняться неравенство
. Разность
этих элементов
представляет собой некоторый полином вида
,
в котором коэффициенты целые и не все равны
нулю. Пусть
является отличным от
нуля коэффициентом с максимальным номером. Тогда, так как
при
представляет
собой наименее уклоняющийся от нуля
полином степени
со старшим
коэффициентом единица, получим
.
Согласно
неравенствам (2), количество элементов в максимальной -цепи множества
будет больше
произведения
Значит,
.
Выберем и
.
Тогда
.
Следовательно, отсюда и из полученной выше оценки
сверху для имеем
~
.
Теорема
доказана.
Замечание.
Из доказательства теоремы А.Г. Витушкина видно, что
главный член -энтропии
выделен с помощью
разложений функций
в ряды Фурье-Чебышева.
Значит, запоминание коэффициентов Фурье-Чебышева аналитических на отрезке
функций оказывается
почти наилучшим способом экономии памяти для записи (табулирования) этих
функций.