Оглавление

7. Функции, аналитические на отрезке

действительной оси

Пусть определена на некотором подмножестве комплексной плоскости с предельной точкой . Тогда производной функции в точке (по множеству ) называется предел (конечный)

.

Функция называется дифференцируемой в точке , если определена в некоторой окрестности точки и для ее приращения выполняется соотношение

,

где не зависит от , при .

Легко показать, что в случае дифференцируемости функции в точке выполняется равенство .

Теорема. Для того чтобы функция , определенная в некоторой окрестности точки , была дифференцируемой в этой точке , необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в точке (как функции двух действительных переменных) и чтобы выполнялись, кроме того, условия Коши-Римана

.

При выполнении всех условий теоремы производную можно вычислять по различным формулам:

.

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторого открытого множества , называется дифференцируемой на нем, а также голоморфной, аналитической, регулярной.

Функция называется аналитической на произвольном множестве , если она аналитична на некотором открытом множестве .

Значит, если функция аналитическая на отрезке , то она аналитическая в некоторой круговой окрестности каждой точки . Из покрытия отрезка этими окрестностями можно выделить конечное подпокрытие, причем эта конечная система окрестностей из покрытия отрезка будет служить покрытием некоторого прямоугольника, содержащего отрезок внутри себя. Поэтому будет аналитической в области, ограниченной некоторым эллипсом с фокусами в точках и . Действительно, сначала строим прямоугольник, который симметричен относительно , внутри себя содержит этот отрезок и расположен внутри «конечного подпокрытия». Затем в полученный прямоугольник вписываем эллипс:

; , ; . ( и могут быть разными, ).

Поэтому вместо класса функций, аналитических на отрезке , рассматривается класс однозначных функций, аналитических в области, ограниченной некоторым эллипсом с полусуммой осей .

Комплексные функции, как и действительные, бывают и многозначные. В частности, нам придется иметь дело с функцией

.

Она двузначная, поэтому ее нельзя в окрестности нуля обычным путем разложить в степенной ряд. Дело в том, что сумма сходящегося степенного ряда не может быть двузначной функции (в силу единственности предела частичной суммы в любой точке сходимости). Из этой двузначной функции можно построить разные однозначные функции путем выбора одного из двух значений в каждой точке (таких способов бесконечно много), но они не всегда будут аналитическими.

Оказывается, есть способ, когда путем выбора значений двузначной функции можно построить ровно две однозначные аналитические функции и , которые называются регулярными ветвями функции или ее однозначными аналитическими ветвями.

Для этого рассмотрим обратную функцию, которую в данном случае можно найти так:

; .

Эта функция называется функцией Жуковского, который нашел важные применения ее в гидродинамике.

Введем обозначения , . Тогда

.

Отсюда

Значит, окружность (фиксируем и меняем ) функцией Жуковского отображается на эллипс с суммой полуосей .

На этот же эллипс отображается и другая окружность .

Следовательно, если взять всевозможные окружности при , то получим, что функция отображает внешность единичного круга плоскости на внешность отрезка плоскости .

Если же взять всевозможные окружности при , то получается отображение функцией внутренности единичного круга плоскости на ту же область – внешность отрезка плоскости ( соответствует ).

Отсюда вытекает следующий способ построения однозначных аналитических ветвей функции .

Исключим из плоскости отрезок и рассмотрим для полученной области:

а) ее отображение на внешность единичного круга плоскости ;

б) ее отображение на внутренность единичного круга плоскости .

Каждое из этих отображений однозначно, но формально задается одной и той же формулой, а именно (хотя при нахождении значения корня берутся разные значения для разных ветвей).

При этом прямая функция имеет производную при . Поэтому обратные функции и имеют (конечные) производные во всех соответствующих точках (вне отрезка ).

Как приложение этих функций получим оценку модуля алгебраического полинома , зная при .

Лемма (С.Н. Бернштейн). Если алгебраический полином степени () при удовлетворяет неравенству , – эллипс с фокусами и 1 и суммой полуосей , то

, .

Доказательство. Пусть регулярная ветвь, которая отображает внешность отрезка действительной оси плоскости переменной на внешность единичного круга плоскости переменной . Этот отрезок служит границей области аналитичности также для вспомогательной функции

.

Поэтому максимум ее модуля достигается на этой границе, а значит,

.

Отсюда .