Оглавление

3. Сети, цепи и покрытия множеств

Пусть – некоторое метрическое пространство, и – заданное число.

1) Множество называется -сетью для (в ), если .

2) Множество называется - различимым (в ), если .

Если множество является - различимым в , то это множество называется -цепью в .

3) Система множеств называется -покры-тием данного множества , если:

а) ; б) .

Пример 1. Пусть – множество действительных чисел, . Тогда будет метрическим пространством (как известно, полным).

Ясно, что множество будет -сетью для (для ) при (и, естественно, при ).

Множество будет -различимым (т.е. -цепью) в при всех .

При система интервалов будет -покрытием для (и для ).

Пример 2. Пусть – двумерное евклидово пространство, на котором задана метрика в виде:

1) ;

2)

(здесь , ). В рассмотрим множество и множество

.

а) Для указанных двух метрик выяснить, образует ли -сеть (и при каких ) множество для множества .

б) При каких множество является -цепью в ?

в) Построить -покрытие (какое-нибудь) для множества (в каждой из указанных метрик).

Оказывается, следующие три свойства множеств в данном метрическом пространстве эквивалентны между собой:

1) При любом существует конечное -покрытие множества .

2) При любом существует конечная -сеть для множества .

3) При любом любое -различимое подмножество из конечно (т.е. при любом любая -цепь из конечна).