Оглавление

2. Свойство компактности множеств

Свойство компактности определяется в различных формах: компактность, счетная компактность, предкомпактность, счетная предкомпактность.

Пусть – некоторое множество элементов, – некоторая система помножеств из .

Система называется топологией в , если:

1) содержит пустое множество и множество ,

2) содержит объединение любых подмножеств из и пересечение любого конечного числа подмножеств из .

Пара называется топологическим пространством, а множества из системы - открытыми множествами.

Топологическое пространство называется компактным, если из любого покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Топологическое пространство называется счетно-компактным, если из любого счетного покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие, или, что то же, если любое бесконечное подмножество из имеет в хотя бы одну предельную точку.

Из курса математического анализа известно, что из любого покрытия данного сегмента интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Поэтому сегмент служит примером компактного множества, а следовательно, и счетно-компактного множества.

Легко построить для интервала счетное покрытие интервалами, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Например, в качестве такого покрытия можно взять систему интервалов (). Значит, интервал не является счетно-компатным, а поэтому и компактным.

Пусть – топологическое пространство. Множество называется предкомпактным (или компактным относительно ), если его замыкание (в ) компактно.

Аналогично определяется счетно-предкомпактное множество.

Свойство компактности определяется и в метрических пространствах (в них, оказывается, компактность эквивалентна счетной компактности).

Пусть – некоторое множество элементов, – декартово произведение. Тогда функция называется метрикой, если она обладает следующими свойствами:

1) для любых и тогда и только тогда, когда элементы и совпадают между собой;

2) для любых ;

3) для любых .

Пара называется метрическим пространством.

Напомним также, что если , , то множество называется окрестностью (-окрестностью) точки .

Точка называется предельной точкой множества , если любая ее окрестность содержит бесконечное множество точек из .

В анализе важную роль играют предкомпактные множества.

Пусть - некоторое метрическое пространство.

Множество называется предкомпактным (или компактным относительно ), если любое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку в .

Вопрос табулирования множеств в метрических пространствах тесно связан с предкомпактностью этих множеств.

Выяснить предкомпактность данного множества из метрического пространства можно двумя способами:

1) Взять замыкание и показать компактность замыкания (из любого открытого покрытия или счетного открытого покрытия выделить конечное подпокрытие для ).

2) Показать, что любое бесконечное подмножество из имеет хотя бы одну предельную точку в .

Для многих конкретных множеств эти два способа содержат труднопроверяемые условия. Нужны более простые для проверки условия предкомпактности.

Как известно, метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Оказывается, в полных метрических пространствах предкомпактность множества сводится к его полной ограниченности.

Напомним, что множество называется ограниченным в , если существует элемент и число такие, что .

Пусть и . Тогда множество называется -сетью для множества , если

.

Множество называется вполне ограниченным в , если при любом в найдется некоторая конечная -сеть для .

Легко показать, что любое вполне ограниченное множество в является ограниченным в . Однако, существуют ограниченные множества , которые не являются вполне ограниченными (в ).

Имеет место

Теорема. Пусть – полное метрическое пространство и пусть . Тогда предкомпактно тогда и только тогда, когда волне ограничено (в ).

Заметим, что если в предкомпактно, то (независимо от полноты ) это множество вполне ограничено (т.е. дополнительное условие полноты метрических пространств требуется для обратного утверждения: из вполне ограничено предкомпактно).