Оглавление

13. Метрика вариаций. Модуль -абсолютной непрерывности

Пусть – непрерывная, неубывающая и выпуклая вниз на полуоси функция с . Всюду ниже такие функции будем называть допустимыми.

-вариация функции , заданной на отрезке , относительно допустимой функции определяется равенством

,

где супремум берется по всем конечным разбиениям

().

-вариация введена Л. Юнг и обобщает -вариацию Винера, которая совпадает с ней при (); при получается обычная жорданова вариация.

Говорят, что , если при некотором . Если не различать функции, которые отличаются друг от друга на отрезке лишь на константу, то на нормой служит

;

становится полным, вообще говоря, несепарабельным пространством.

Метрика, порождаемая этой нормой, является более «жесткой» по сравнению с равномерной метрикой, т.е. из сходимости некоторой последовательности непрерывных функций в метрике, порожденной нормой , всегда вытекает ее равномерная сходимость на отрезке ; обратное, вообще говоря, не верно.

В силу полноты пространства предкомпактность его подмножеств относительно метрики -ваиации будет вытекать из их полной ограниченности.

Модулем -абсолютной непрерывности функции называется величина

,

где

а супремум берется по всем разбиениям с ;

Функция называется -абсолютно непрерывной на отрезке и пишут , если при .

Величина введена Б.И. Голубовым, а при () – Л. Юнг. Свойства в случае допустимых функций общего вида изучены в [8].

В частности, какова бы ни была функция , ее модуль -абсолютной непрерывности при всех и удовлетворяет неравенствам

.

Отсюда получим

для натуральных ,

для любых .

Б.И. Голубовым получен критерий компактности множеств из относительно метрики -вариаций в терминах модуля -абсолютной непрерывности в случае, когда допустимая функция удовлетворяет -условию: существуют и такие, что при .

В случае допустимых функций общего вида в [6] получен признак полной ограниченности (а следовательно, и предкомпатности) множеств из полного пространства в терминах модуля -абсолютной непрерывности.

Следующее утверждение связывает модуль -абсолютной непрерывности с обычным равномерным модулем непрерывности функции и используется при оценке метрической энтропии классов Гельдера в вариационных метриках.

Лемма. Пусть для возрастающего модуля непрерывности и допустимой функции отношение () возрастает.

Тогда для любой функции () с равномерным модулем непрерывности имеем

().

Доказательство. Пусть . Возьмем произвольное и разбиение с . Учитывая возрастание функции (), при требуемое неравенство получим из соотношений

.