Пусть – непрерывная,
неубывающая и выпуклая вниз на полуоси
функция с
. Всюду ниже такие функции будем называть допустимыми.
-вариация функции
, заданной на отрезке
, относительно допустимой функции
определяется
равенством
,
где супремум берется по всем конечным разбиениям
(
).
-вариация введена Л. Юнг и обобщает
-вариацию Винера, которая совпадает с ней при
(
); при
получается обычная
жорданова вариация.
Говорят, что , если
при некотором
. Если не различать функции, которые отличаются друг от друга
на отрезке
лишь на константу, то на
нормой служит
;
становится полным,
вообще говоря, несепарабельным пространством.
Метрика, порождаемая этой нормой, является
более «жесткой» по сравнению с равномерной метрикой, т.е. из сходимости
некоторой последовательности непрерывных функций в метрике, порожденной нормой , всегда вытекает ее равномерная сходимость на отрезке
; обратное, вообще говоря, не верно.
В силу полноты пространства предкомпактность
его подмножеств относительно метрики
-ваиации будет вытекать из
их полной ограниченности.
Модулем -абсолютной непрерывности функции
называется величина
,
где
а
супремум берется по всем разбиениям с
;
Функция называется
-абсолютно непрерывной на отрезке
и пишут
, если
при
.
Величина введена Б.И. Голубовым, а при
(
) – Л. Юнг. Свойства
в случае допустимых
функций
общего вида изучены в
[8].
В частности, какова бы ни была функция , ее модуль
-абсолютной
непрерывности
при всех
и
удовлетворяет
неравенствам
.
Отсюда
получим
для натуральных
,
для любых
.
Б.И. Голубовым
получен критерий компактности множеств из относительно метрики
-вариаций в терминах модуля
-абсолютной непрерывности в случае, когда допустимая
функция
удовлетворяет
-условию: существуют
и
такие, что
при
.
В случае допустимых функций общего вида в [6]
получен признак полной ограниченности (а следовательно, и предкомпатности)
множеств из полного пространства
в терминах модуля
-абсолютной непрерывности.
Следующее утверждение связывает модуль -абсолютной непрерывности с обычным равномерным
модулем непрерывности функции и используется при оценке метрической энтропии классов
Гельдера в вариационных метриках.
Лемма.
Пусть для возрастающего модуля непрерывности и допустимой функции
отношение
(
) возрастает.
Тогда для любой функции (
) с равномерным модулем непрерывности
имеем
(
).
Доказательство. Пусть . Возьмем произвольное
и разбиение
с
. Учитывая возрастание функции
(
), при
требуемое неравенство
получим из соотношений
.