Оглавление

12. Оценка энтропий классов Гельдера в равномерной метрике

Для заданных функции типа модуля непрерывности и числа определим класс

.

Как следует из локальной компактности классов Гельдера, класс будет компактным (относительно равномерной метрики).

Будем считать строго возрастающей при (хотя это не принципиально: можно вместо взять каждый раз одно из решений уравнения относительно ). Тогда справедлива

Теорема 1. Имеет место соотношение

().

Доказательство вытекает из теорем 2 и 3 и основной теоремы об энтропиях.

Теорема 2. Для данных ф.т.м.н. и числа для -энтропии выполняется неравенство

,

где не зависит от .

Теорема 3. Для данных ф.т.м.н. и числа для -емкости выполняется неравенство

,

где не зависит от .

Доказательство теоремы 2. Пусть – данное число и число такое, что .

Выберем натуральное так, чтобы , и возьмем точки

.

Хотим оценить . Для этого построим «экономно» -покрытие множества в метрике .

Элементы покрытия будем строить исходя из значений функций из в точках .

Через обозначим переменные, которые независимо друг от друга могут принимать целые значения из промежутка , причем подбирается так, чтобы выполнялись следующие условия:

.

Образуем множества (элементы покрытия) таким образом: берем некоторый набор допустимых значений и считаем, что

(*)

Заметим, что график пересечет каждую вертикаль в пределах от до . Поэтому для любой такой функции существует хотя бы один набор (), для которого выполняется условие (*), т.е. любая функция принадлежит хотя бы одному элементу покрытия – множеству .

Оценим . Возьмем произвольные и , принадлежащие одному и тому же множеству . Тогда на вертикалях () по построению покрытия имеем () (так как на каждой вертикали значения и расположены на некотором отрезке длины ).

Пусть теперь и, например, (). Тогда, так как , получим

.

Значит, , т.е. множества образуют -покрытие класса .

Оценим теперь сверху число непустых множеств вида . Для этого достаточно оценить сверху количество упорядоченных наборов (), для которых все значения участвуют в условии (*) хотя бы для одной функции .

Оценим количество возможных значений . По построению вертикальных разбиений отрезка для максимального значения переменной должны выполняться условия:

.

Учитывая значения , получим, что самое большее .

Оценим теперь число пар .

Если некоторое значение фиксировано, то ему могут соответствовать 5 значений .

Действительно, значения переменной мы берем вдоль вертикали , на которой располагаются значения для всевозможных функций при фиксированном значении на одном из отрезков на вертикали .

Так как длина промежутка не превосходит , в зависимости от функции значения могут участвовать в 5 отрезках длин разбиения на вертикали .

Значит, упорядоченных пар самое большее может быть .

Аналогично, упорядоченных троек будет самое большее и т.д.

Упорядоченных наборов будет .

Следовательно, минимальное число элементов в -покрытии множества удовлетворяет неравенству

,

а значит,

.

Оценим . Имеем (по выбору и )

.

При достаточно малых получим

,

.

У нас . Тогда , если существует обратная функция ; в общем случае можно считать, что – это одно из значений таких, что . Значит, найдется , не зависящее от , такое, что .

Доказательство теоремы 3. Пусть, как и выше,

и пусть , ( можно считать достаточно малым, чтобы возможно было разбить отрезок на части длины ).

Обозначим . Тогда

.

Возьмем точки и середины частичных отрезков . Построим функции

Ясно, что , , .

Составим теперь семейство из функций и сумм всевозможных их сочетаний. Получаются функции следующего вида с различным количеством пиков:

Оценим число различных функций множества :

функций, имеющих 1 пик, (с учетом );

функций, имеющих 2 пика, ;

………………………………….

функций, имеющих пиков, .

Значит, с учетом тождественного нуля всего таких функций .

Оценим расстояния между любыми разными функциями из :

.

Следовательно, функции из образуют -цепь и в этой цепи более элементов. Поэтому

.

Здесь, как и выше, - одно из решений уравнения . Отсюда уже легко следует требуемое неравенство.