Оглавление

11. Локально компактные классы Гельдера

Пусть функция непрерывна на данном отрезке . Тогда ее модулем непрерывности называется следующая функция относительно :

.

Следующие свойства модуля непрерывности называются его основными свойствами.

. .

. при любых .

. при любых .

. непрерывная функция относительно .

Дело в том, что если для некоторой функции (, ) имеем:

1) ; 2) при любых из ;

3) при любых ;

4) непрерывна при ,

то для всех .

Поэтому любая функция , которая обладает свойствами -, называется функцией типа модуля непрерывности (ф.т.м.н.) или модулем непрерывности.

Пусть () – данная ф.т.м.н. Тогда следующий класс функций, определенных на данном отрезке , называется классом Гельдера:

.

Из приведенной выше теоремы Арцела следует, что класс Гельдера обладает локальной компактностью, т.е. любое его ограниченное подмножество предкомпактно в (фактически можно доказать, что оно компактно в ).

Ясно, что () при является ф.т.м.н. Класс Гельдера в этом случае называется классом Липшица и обозначается так: .