Пусть функция непрерывна на данном
отрезке
. Тогда ее модулем непрерывности называется следующая функция
относительно
:
.
Следующие свойства модуля непрерывности
называются его основными свойствами.
.
.
.
при любых
.
.
при любых
.
.
непрерывная функция
относительно
.
Дело в том, что если для некоторой функции (
,
) имеем:
1) ; 2)
при любых
из
;
3) при любых
;
4) непрерывна при
,
то
для всех
.
Поэтому любая функция , которая обладает свойствами
-
, называется функцией типа модуля непрерывности (ф.т.м.н.) или модулем непрерывности.
Пусть (
) – данная ф.т.м.н.
Тогда следующий класс функций, определенных на данном отрезке
, называется классом Гельдера:
.
Из приведенной выше теоремы Арцела
следует, что класс Гельдера обладает локальной компактностью, т.е. любое его
ограниченное подмножество предкомпактно в (фактически можно
доказать, что оно компактно в
).
Ясно, что (
) при
является
ф.т.м.н. Класс Гельдера
в этом случае
называется классом Липшица и обозначается так:
.