Пособие содержит материал для начального
знакомства с такими важными характеристиками множества, как мощность и мера, а
также с интегралом Лебега.
Как показал А. Лебег, интеграл Римана от
ограниченной на данном отрезке функции существует тогда и только тогда, когда
она почти всюду непрерывна на этом отрезке. Однако еще во второй половине XIX века перед математикой ставились
проблемы, относящиеся к значительно более широким классам функций, чем класс
интегрируемых по Риману функций. Так, возник интерес к изучению функций,
определенных на произвольных числовых множествах. А интеграл Римана даже в случае отрезка
не позволял в полной мере исследовать
вопросы взаимосвязи важнейших операций анализа: дифференцирования и
интегрирования, вопросы сходимости рядов и др.
Возникла необходимость построения теории
множеств и на ее базе теории интеграла.
Основы этих теорий заложены в работах Г. Кантора, Э. Бореля, Р. Бэра, А. Лебега и др. Так, в начале XX века А. Лебег ввел новое понятие меры
множества и на этой основе создал новую теорию интеграла, которые составляют
фундамент современного анализа.
Пособие носит методический характер: в
нем мы касаемся вопросов возникновения понятий мощности и меры множества и
интеграла Лебега, приводим основные их свойства с пояснениями или
доказательствами. Оно снабжено задачами
и упражнениями по теории множеств и интегралу Лебега для лучшего освоения этого
материала. Полнее и глубже эти вопросы освещены в монографиях и учебниках,
приведенных в списке литературы.