В
этом параграфе речь идет лишь об интегралах по ограниченным множествам.
Следующее
утверждение называется теоремой о среднем
для интеграла Лебега.
. Если функция
измерима на данном
множестве
и
для данных
и
, то выполняется неравенство
.
(1)
Отметим
некоторые важные следствия из неравенства (1).
1)
Если функция (
) постоянна, то
.
Для
доказательства достаточно в неравенстве (1) взять ; измеримость функции
очевидна.
2)
Если , то для любой функции
, определенной на
, интеграл равен нулю:
.
3)
Если и
ограничена
и измерима на
, то
; если же
, то
.
Следующее
свойство называется полной аддитивностью интеграла.
. Если (ограниченное) множество
представляет собой
объединение
конечного или счетного
множества непересекающихся между собой измеримых множеств
, то для любой ограниченной измеримой на
функции
выполняется равенство:
.
Если две ограниченные
измеримые функции эквивалентны между собой
на множестве
, то
Действительно,
по определению эквивалентности функций . Тогда для множеств
и
получим равенства
,
. Остается почленно сложить эти
равенства.
Интеграл Лебега
обладает линейностью: если две
функции
и
ограничены и измеримы
на данном множестве
, то для любых действительных чисел
и
выполняется равенство
.
Если для ограниченной измеримой на
функции
выполняется неравенство
(
), то
.
Отсюда
уже легко следует монотонность интеграла
Лебега: если две ограниченные измеримые на функции удовлетворяют
неравенству
(
), то
Если функция
ограничена и измерима
на множестве
, то
.
Если для измеримых на множестве
функций
(
) существует число
такое, что
(для любого
;
), и существует
для почти всех
, то выполняется равенство
.
Как следует из
приведенных выше свойств, интеграл Лебега обладает всеми важными свойствами
обычного интеграла (аддитивностью, линейностью,
монотонностью и т.д.). Однако интеграл Лебега обладает свойством , которое позволяет достаточно свободно перейти к пределу под
знаком интеграла. Именно это свойство интеграла Лебега делает его удобным инструментом
в различных исследованиях.
Оглавление