§ 9. Основные свойства интеграла Лебега от ограниченной
измеримой функции
В
этом параграфе речь идет лишь об интегралах по ограниченным множествам.
Следующее
утверждение называется теоремой о среднем
для интеграла Лебега.
. Если функция 
измерима на данном
множестве 
и 
для данных 
и 
, то выполняется неравенство
.
(1)
Отметим
некоторые важные следствия из неравенства (1).
1)
Если функция 
(
) постоянна, то 
.
Для
доказательства достаточно в неравенстве (1) взять 
; измеримость функции 
очевидна.
2)
Если 
, то для любой функции , определенной на , интеграл равен нулю: 
.
3)
Если 
и ограничена
и измерима на , то 
; если же 
, то 
.
Следующее
свойство называется полной аддитивностью интеграла.
. Если (ограниченное) множество представляет собой
объединение 
конечного или счетного
множества непересекающихся между собой измеримых множеств 
, то для любой ограниченной измеримой на функции выполняется равенство:
.
Если две ограниченные
измеримые функции эквивалентны между собой 
на множестве , то 
Действительно,
по определению эквивалентности функций 
. Тогда для множеств 
и 
получим равенства 
, 
. Остается почленно сложить эти
равенства.
Интеграл Лебега
обладает линейностью: если две
функции и 
ограничены и измеримы
на данном множестве , то для любых действительных чисел 
и 
выполняется равенство
.
Если для ограниченной измеримой на функции выполняется неравенство
(
), то .
Отсюда
уже легко следует монотонность интеграла
Лебега: если две ограниченные измеримые на функции удовлетворяют
неравенству 
(), то 
Если функция ограничена и измерима
на множестве , то 
.
Если для измеримых на множестве функций 
(
) существует число 
такое, что 
(для любого ; ), и существует 
для почти всех , то выполняется равенство
.
Как следует из
приведенных выше свойств, интеграл Лебега обладает всеми важными свойствами
обычного интеграла (аддитивностью, линейностью,
монотонностью и т.д.). Однако интеграл Лебега обладает свойством 
, которое позволяет достаточно свободно перейти к пределу под
знаком интеграла. Именно это свойство интеграла Лебега делает его удобным инструментом
в различных исследованиях.
Оглавление