Пусть
ограничена и измерима
на ограниченном множестве
. В силу ограниченности существуют конечные числа
и
. Возьмем произвольное разбиение отрезка
(по оси
)
. Тогда множества
,
,
также будут измеримы,
т.е. существуют лебеговы меры
(
), и для разбиения
можно определить
соответственно нижнюю и верхнюю суммы
Лебега
и
.
Аналогично
свойствам сумм Дарбу доказываются следующие свойства сумм Лебега:
1)
при добавлении новых точек разбиения нижние суммы не уменьшаются, а верхние не
увеличиваются;
2)
любая нижняя сумма не превосходит любой
верхней суммы
, т.е.
.
Следовательно,
для всевозможных разбиений множество нижних сумм
Лебега ограничено сверху, а множество верхних сумм ограничено снизу. Поэтому
существуют конечные точные границы
и
.
Общее
значение этих точных границ
называется интегралом Лебега от
функции
по множеству
и обозначается так:
или
.
Известно,
что интегралы Дарбу и
не для всякой ограниченной
на данном отрезке функции совпадают
между собой. Как будет доказано ниже, значения
и
совпадают между собой
для любой ограниченной измеримой на множестве E функции
; другими словами, интеграл
Лебега существует и конечен в случае любой ограниченной измеримой функции.
Действительно,
по аналогии с интегралами Дарбу легко получается неравенство для любого разбиения
. Отсюда получим
.
Определим
теперь шаг разбиения . Тогда получим
.
Заметим,
что множества попарно не пересекаются
между собой и
. В силу аддитивности меры
Лебега получим равенство
.
Следовательно,
выполняется неравенство .
Так
как шаг разбиения можно выбрать сколь
угодно малым, отсюда получим
или
, т.е. интеграл Лебега
существует и конечен.
Заметим,
что в случае для интегралов Лебега
принято также обозначение
. Чтобы различать
интегралы Римана и Лебега, приняты обозначения:
(для интеграла
Римана),
(для интеграла
Лебега).
Оглавление