Измеримость множеств и свойства
измеримых множеств тесно связаны с измеримостью их дополнения до некоторого
промежутка.
Дополнением
множества до данного промежутка
(конечного или
бесконечного), содержащего
, называется множество
.
Теорема
1. Множество измеримо тогда и
только тогда, когда его дополнение
измеримо (дополнение
берется до любого
данного конечного промежутка, содержащего
).
Доказательство.
Для двух данных множеств и
выполняется равенство
(см.
рисунок ниже). Если при этом
- элементарное множество, то его дополнением (до конечного
промежутка) также служит некоторое элементарное множество. Поэтому измеримость дополнения
до данного конечного
промежутка вытекает из неравенства
(
).
Теорема
2.
Если множества и
измеримы, то измеримы
множества
,
,
и
.
Доказательство. 1) Пусть - любое фиксированное
число и
- элементарные
множества такие, что
,
. Тогда выполняется
соотношение
, т.к. в левой части от
отнимаем
и
, а в правой части от
отнимаем только
; аналогично, в левой части от
отнимаем
и
, а в правой части от
отнимаем только
. Из этого соотношения следует, что
(мы
воспользовались монотонностью и полуаддитивностью
внешней меры).
2) Пусть - некоторый отрезок,
включающий множества
и
. Тогда для дополнений до него получим
(см.
рисунок ниже). Остается применить доказанную измеримость объединения и теорему 1.
3)
Пусть . Тогда измеримость разности
вытекает из равенства
(см.
рисунок ниже).
4)
Измеримость симметрической разности вытекает из измеримости разности, объединения
и следующего равенства: .
Следствие. Если множества измеримы, то измеримы
их объединение
и их пересечение
.
Теорема 3.
Если множества измеримы, то измеримо
множество
; если при этом
при всех
, то выполняется равенство
(счетная
аддитивность меры Лебега); если же
, то измеримо множество
и выполняется равенство
.
Теорема 4.
Если множества измеримы, то измеримо
множество
; если при этом
, то выполняется равенство
(непрерывность меры
Лебега).
Доказательства теорем 3 и 4 можно
найти в [2].
Оглавление