§ 3. Свойства измеримых по Лебегу множеств

Измеримость множеств и свойства измеримых множеств тесно связаны с измеримостью их дополнения до некоторого промежутка.

Дополнением множества до данного промежутка (конечного или бесконечного), содержащего , называется множество .

Теорема 1. Множество измеримо тогда и только тогда, когда его дополнение измеримо (дополнение берется до любого данного конечного промежутка, содержащего ).

Доказательство. Для двух данных множеств и выполняется равенство (см. рисунок ниже). Если при этом - элементарное множество, то его дополнением (до конечного промежутка) также служит некоторое элементарное множество. Поэтому измеримость дополнения до данного конечного промежутка вытекает из неравенства

().

Теорема 2. Если множества и измеримы, то измеримы множества , , и .

Доказательство. 1) Пусть - любое фиксированное число и - элементарные множества такие, что , . Тогда выполняется соотношение , т.к. в левой части от отнимаем и , а в правой части от отнимаем только ; аналогично, в левой части от отнимаем и , а в правой части от отнимаем только . Из этого соотношения следует, что

(мы воспользовались монотонностью и полуаддитивностью внешней меры).

2) Пусть - некоторый отрезок, включающий множества и . Тогда для дополнений до него получим (см. рисунок ниже). Остается применить доказанную измеримость объединения и теорему 1.

3) Пусть . Тогда измеримость разности вытекает из равенства (см. рисунок ниже).

4) Измеримость симметрической разности вытекает из измеримости разности, объединения и следующего равенства: .

Следствие. Если множества измеримы, то измеримы их объединение и их пересечение .

Теорема 3. Если множества измеримы, то измеримо множество ; если при этом при всех , то выполняется равенство (счетная аддитивность меры Лебега); если же , то измеримо множество и выполняется равенство .

Теорема 4. Если множества измеримы, то измеримо множество ; если при этом , то выполняется равенство (непрерывность меры Лебега).

Доказательства теорем 3 и 4 можно найти в [2].

Оглавление