§ 2. Линейная мера Лебега

Прежде всего отметим, что наряду с объединением и пересечением над множествами определяются также две операции вычитания.

Разностью двух множеств и называется множество, каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству .

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , равное объединению двух разностей и .

Заметим, что если мысленно двигать множества и относительно друг друга, то ясно, что чем меньше симметрическая разность двух данных множеств (т.е. площадь заштрихованной части), тем больше их пересечение (площадь общей части этих множеств), а значит, тем «ближе» эти множества друг к другу. Этим свойством симметрической разности мы воспользуемся для «измерения» множеств, а начнем с обобщения понятия конечного промежутка и определения его меры.

Промежутком будем называть любое из следующих множеств: - интервал, - сегмент, - полуинтервалы, причем, если не оговорено противное, будем считать и действительными числами и необязательно . Будем считать промежуток пустым множеством , если , или если , а промежуток представляет собой интервал или один из полуинтервалов и .

Множество называется элементарным, если его можно представить в виде конечного объединения некоторых промежутков:

.

Мерой промежутка называется его длина ; если , то .

Внешней мерой ограниченного множества назовем величину

,

где инфимум берется по всем конечным или счетным покрытиям множества промежутками

Заметим, что любое ограниченное множество имеет конечную внешнюю меру.

Действительно, для такого множества существует покрытие из одного промежутка ; при этом множество сумм ограничено снизу нулем.

Отметим два важных свойства внешних мер:

1) монотонность: из следует (т.к. для покрытия нужны дополнительные промежутки);

2) полуаддитивность: (т.к. если , то промежутки для его покрытия в правой части могут встречаться два раза).

Множество называется измеримым по Лебегу, если для существует элементарное множество такое, что . Если множество измеримо по Лебегу, то мерой множества по Лебегу называется его внешняя мера:

.

Значит, измеримые множества - это множества, близкие к элементарным множествам: они сколь угодно мало отличаются от элементарных множеств (в смысле внешней меры).

Простейшим примером измеримого множества служит любое конечное множество .

Действительно, в качестве элементарного множества при можно взять само множество , так как

.

Тогда из следует, что . Очевидно,

Замечание 1. Меру Лебега можно распространить и на случай неограниченных множеств . Такое множество называется измеримым, если измеримо любое множество вида ( - натуральное число). Мерой множества в этом случае называется следующий предел: = (который может равняться и ).

Замечание 2. Если в определении внешней меры сохранить лишь конечные покрытия ограниченного множества промежутками, то по аналогии с мерами Лебега получим внешнюю меру Жордана и меру Жордана множества .

Отметим, что мера Лебега является существенно более широким понятием, чем мера Жордана. Например, лебегова мера множества рациональных чисел равна нулю, в то время как это множество не является измеримым по Жордану.

Оглавление