§ 14. Задания для самостоятельной подготовки
Задача 1.
Найти меру Лебега 
, если:
1) 
. (0)
2) 
. (0)
3) 
. (0)
4) 
. (0)
5) 
. (0)
6) 
- множество всех
рациональных чисел из отрезка 
. (0)
7) - множество всех
иррациональных чисел из отрезка . (1)
8) 
(1)
9) 
10) 
(1)
11) 
(1)
Задача 2. Эквивалентны
ли данные множества:
1)
Промежутки 
и 
? (да)
2) Множество
всех рациональных чисел и интервал ? (нет)
3)
Множество 
и множество 
? (нет)
4)
Множество 
(действительных чисел)
и множество 
(рациональных чисел)?
(нет)
Задача 3. 1)
Верно ли, что множество рациональных
чисел и множество натуральных чисел имеют одинаковую мощность? (да)
2)
Найти мощность множества . (10)
Задача 4. Является ли элементарным
данное множество:
1) Множество 
? (да)
2)
Пустое множество? (да)
3)
Множество всех натуральных чисел? (нет)
Задача 5. Выберите
все верные варианты ответов:
1)
Внешняя мера Лебега ограниченного множества E равна инфимуму
суммы мер (длин) промежутков, составляющих покрытие множества E, причем инфимум
берется по всем…
а)
конечным или счетным покрытиям;
б)
конечным покрытиям;
в)
конечным или бесконечным покрытиям;
г)
счетным покрытиям.
2)
Любое ограниченное множество имеет…
а)
конечную внешнюю меру Лебега;
б)
конечную меру Лебега;
в)
мощность множества всех натуральных чисел;
г)
мощность множества всех рациональных чисел.
3)
Ограниченное множество называется измеримым по Лебегу, если…
а)
внешнюю меру его симметрической разности с элементарным множеством можно
сделать сколь угодно малой за счет выбора элементарного множества; б) оно
эквивалентно счетному множеству;
в)
оно эквивалентно некоторому элементарному множеству.
4) Для множества 
…
а)
меры Лебега и Жордана равны;
б)
мера Лебега больше меры Жордана;
в)
мера Жордана не существует, мера Лебега существует;
г)
мера Лебега меньше меры Жордана.
5)
Для множества всех рациональных чисел из 
…
а) мера
Жордана не существует, мера Лебега равна нулю;
б)
меры Лебега и Жордана равны;
в)
мера Лебега больше меры Жордана;
г)
мера Лебега меньше меры Жордана.
6)
Любое ограниченное…
а)
открытое множество измеримо по Лебегу;
б) замкнутое
множество измеримо по Лебегу;
в) замкнутое
множество измеримо по Лебегу, открытое
не всегда.
Задача 6. Выберите
все верные варианты ответов:
1) Функция 
, определенная на множестве
, называется измеримой (по Лебегу), если…
а)
множества и 
при всех 
измеримы;
б)
множество измеримо, функция ограничена;
в)
множество измеримо, функция непрерывна;
г)
множество измеримо.
2)
Функция 
на множестве 
…
а)
измерима; б) непрерывна; в) ограничена; г) непрерывна и ограничена.
3)
Неверно, что на данном отрезке 
…
а)
измеримая функция всегда непрерывна;
б)
измеримая функция всегда ограничена;
в)
функция Дирихле 
, разрывная во всех точках, измерима;
г)
измеримая функция может быть ограничена.
4)
Если мера Лебега множества равна нулю, то…
а)
любая определенная на функция измерима;
б)
функция измерима, если только она ограничена;
в)
функция измерима на , если только она непрерывна;
г)
функция измерима на , если только она непрерывна и ограничена.
5)
Если две функции и 
измеримы на данном
множестве , то не всегда на …
а)
функция 
измерима; б) функции 
измеримы;
в)
функция 
измерима; г) функция 
измерима.
6)
Если две функции и неизмеримы на данном
измеримом множестве , то всегда…
а) 
неизмерима;
б) 
неизмерима;
в) неизмерима; г) 
неизмерима.
Задача 7. Выберите
все верные варианты ответов:
1)
Функция Дирихле , равная 1 в рациональных точках и равная 0 в иррациональных
точках, на любом отрезке …
а) эквивалентна тождественному нулю;
б) эквивалентна тождественной единице;
в)
не эквивалентна никакой непрерывной функции.
2)
Неверно, что функция 
на отрезке 
…
а) эквивалентна постоянной функции;
б)
непрерывна почти всюду;
в)
дифференцируема почти всюду.
3)
Неверно, что …
а)
функция Дирихле , равная 1 в рациональных точках и равная 0 в иррациональных
точках, непрерывна почти всюду на отрезке ;
б)
предел функции 
при
почти всюду на
отрезке
равен
нулю;
в)
функция 
почти всюду на
отрезке [-1,1] дифференцируема.
Задача 8.
Выберите все верные варианты ответов:
1)
Неверно, что для любой ограниченной измеримой на данном отрезке 
функции всегда …
а)
интеграл Римана 
существует;
б)
интеграл Лебега существует;
в) супремум всех нижних сумм Лебега равен инфимуму всех
верхних сумм Лебега;
г)
интегралы Римана и Лебега существуют.
2)
При составлении сумм Лебега произвольной ограниченной измеримой функции 
…
а)
берутся разбиения по оси 
; б) можно взять разбиения по оси 
;
в)
берутся разбиения и по оси , и по оси .
3) Неверно,
что для любой ограниченной измеримой на данном отрезке (
) функции …
а)
интегралы Римана и Лебега совпадают;
б) супремум нижних сумм Лебега равен
интегралу Лебега;
в) инфимум верхних сумм Лебега равен
интегралу Лебега;
г)
интеграл Лебега существует.
4)
Неверно, что для интегралов Лебега всегда …
а) из
существования 
вытекает существование
;
б) из 
при 
вытекает 
(если интегралы
существуют);
в) 
(если интегралы
существуют;
).
5)
Две измеримые на данном множестве функции и называются
эквивалентными, если…
а)
мера Лебега множества 
равна нулю;
б)
эквивалентны множества значений этих функций;
в)
интегралы Лебега от этих функций равны.
6)
Если (собственный) интеграл Римана существует, то…
а) он
равен интегралу Лебега ;
б) может быть
неограниченной, а потому неинтегрируемой по Лебегу; в) может быть
неизмеримой, а потому неинтегрируемой по Лебегу.
7)
Если функция дифференцируема на
данном отрезке и ее производная 
ограничена на нем,
то 
…
а) всегда
для интеграла Лебега и не всегда для интеграла Римана;
б)
всегда для интеграла Римана и не всегда для интеграла Лебега;
в)
не всегда как для интеграла Лебега, так и для интеграла Римана;
г)
всегда для интеграла Римана и для интеграла Лебега.
8)
Для неограниченной на данном множестве функции
интеграл
Лебега 
…
а)
определяется как 
, если только 
и измерима на ;
б)
вообще не определяется;
в)
определяется как в случае любой
измеримой на
функции
.
9)
Не всегда верно, что для положительной 
и отрицательной 
частей функции 
выполняются
соотношения …
а) 
;
б) 
;
в) 
.
10)
Интегралом Лебега от (произвольной)
измеримой на данном множестве функции называется разность
интегралов
, если …
а) хотя бы один из этих интегралов конечен;
б) только оба интеграла конечны; в) даже оба
интеграла бесконечны.
11)
Функция называется
интегрируемой по Лебегу (или суммируемой) на данном множестве ,…
а)
если только интеграл 
конечен;
б)
если хотя бы один из интегралов 
конечен;
в)
если только функция ограничена и измерима на .
12)
Из функций 
и 
равенству 
при всех 
удовлетворяют…
а) обе
функции; б) только ; в) ни одна; г) только .
13)
Из функций 
и равенству при всех удовлетворяют…
а) ; б) обе функции; в) ни одна; г) .
14)
Функция , равная 
при
и нулю при 
, на отрезке …
а) не
является ни суммируемой (интегрируемой по Лебегу), ни интегрируемой по Риману в
несобственном смысле;
б)
является суммируемой и неинтегрируемой по Риману;
в)
является интегрируемой по Риману в несобственном смысле и не является
суммируемой.
15)
Функция Дирихле , равная 1 в рациональных точках и равная 0 в иррациональных
точках, на отрезке …
а)
является суммируемой (интегрируемой по Лебегу) и неинтегрируемой по Риману (в
собственном или несобственном смысле);
б)
является суммируемой и интегрируемой по Риману в несобственном смысле;
в)
не является ни суммируемой, ни интегрируемой по Риману.
16)
Функция , равная 
при
и нулю при , на отрезке …
а) является
суммируемой (интегрируемой по Лебегу) и интегрируемой по Риману в несобственном
смысле;
б)
не является суммируемой и является интегрируемой по Риману в несобственном
смысле;
в)
не является суммируемой и интегрируемой
по Риману.
17)
Неверно, что на отрезке …
а)
всегда ограниченная измеримая функция интегрируема по Риману;
б)
функция , равная при
и нулю при измерима, но не
интегрируема по Лебегу;
в)
всегда функции и одновременно
интегрируемы по Лебегу или нет, если измерима.
Задача 9.
Найти интеграл Лебега:
1) 
. 
2) 
. (-1)
3) 
, где - функция Дирихле,
равная 1 в рациональных точках и 0 в иррациональных точках. (0)
4) 
, где – множество всех
рациональных точек отрезка . (0)
5) 
, где . (0)
6) 
, где – множество всех
иррациональных точек отрезка . 
7) , где (
-1)
8) 
, где (4)
9) 
, где 
10) 
, где 
(3)
11) 
, где 
. (0)
12) 
, где 
. (0)
13) 
, где функция равна в рациональных точках
и равна 
в иррациональных
точках. 
14) , где функция равна 
при
и 
при 
. (0)
15) 
, где функция равна 6 при 
и 9 при . (7)
16) , где функция равна 4 при 
и 16 при . (7)
17) , где функция равна в иррациональных
точках и 
в рациональных точках
отрезка . (2)