§12. Суммируемые функции (любого знака)

Пусть функция измерима на данном множестве . Тогда

(+)-срезкой и (-)-срезкой этой функции называются соответственно следующие определенные на множестве две функции:

Легко проверить, что выполняются следующие равенства: , , .

Отсюда, так как из измеримости на множестве вытекает измеримость на этом множестве, получим, что на множестве измеримыми будут обе функции: и . Раз обе срезки являются неотрицательными измеримыми функциями на множестве , то имеют смысл следующие два интеграла Лебега: и .

Интегралом Лебега от измеримой на данном множестве функции называется следующая разность интегралов:

,

если хотя бы один из интегралов в правой части конечен.

Если же оба интеграла в правой части конечны, то функция называется суммируемой или интегрируемой по Лебегу на множестве .

Замечание. Это же определение интеграла Лебега остается в силе в случае функций любого знака (ограниченных или неограниченных), измеримых на данном неограниченном множестве .

Ясно, что любая ограниченная измеримая на данном ограниченном множестве функция будет суммируемой на этом множестве.

Как видно из приводимых ниже утверждений, суммируемые функции обладают свойствами, аналогичными свойствам ограниченных измеримых функций.

1. Суммируемые функции обладают линейностью: если функции и суммируемы на данном множестве , то при любых действительных и функция также суммируема на и выполняется равенство

2. Если функция суммируема на данном множестве , а функция измерима и ограничена на , то функция суммируема на .

3. Суммируемые функции обладают полной аддитивностью в следующей форме: если суммируема на множестве и это множество представимо в виде конечного или счетного объединения измеримых непересекающихся множеств , т.е. при , то выполняется равенство

однако в случае счетного объединения из суммируемости на всех не вытекает суммируемость на , хотя в случае конечного объединения вытекает.

4. Для измеримых функций сама функция суммируема на данном множестве тогда и только тогда, когда на нем суммируема функция .

Напомним, что такая «жесткая» связь между интегрируемостью самой функции и ее модуля в интегралах Римана отсутствует. Хотя из интегрируемости по Риману в собственном смысле самой функции вытекает интегрируемость ее модуля на рассматриваемом отрезке, обратное утверждение не верно. Так, функция , равная 1 при и равная при , на отрезке не интегрируема по Риману, а функция интегрируема на .

В общем случае интегралов Римана нет следования и в другом направлении: функция , равная при и равная при , на отрезке интегрируема по Риману (в несобственном смысле), а ее модуль - нет.

Заметим, что построенная функция на отрезке измерима, но не суммируема, т.е. не интегрируема по Лебегу, и при этом интегрируема по Риману в несобственном смысле.

Если интегрируемость в несобственном смысле не требуется, то еще легче строятся примеры, которые показывают, что не всякая измеримая функция является суммируемой.

Действительно, пусть Тогда измерима на отрезке

и при натуральных получим:

при .

Значит, . Поэтому данная функция не является суммируемой на отрезке .

Приведем теперь пример неограниченной суммируемой функции. Пусть Тогда эта функция является неотрицательной измеримой на отрезке . При этом .

Значит,

Следовательно, эта неограниченная функция является суммируемой на отрезке .

Обратимся теперь к общему случаю восстановления функции по известной ее производной интегрированием по Лебегу (т.е. к случаю суммируемых производных, а для ограниченных производных этот вопрос рассмотрен в § 10). В общем случае имеет место

Теорема. Если: 1) при всех существует конечная производная ; 2) производная суммируема на , то для каждого выполняется равенство , в частности, равенство

Возникает вопрос: не лишнее ли условие 2) теоремы, т.е. само существование конечной производной не обеспечивает ли ее суммируемость?

Оказывается, нет. Так, легко показать, что функция

имеет конечные производные во всех точках отрезка , но при этом производная не будет суммируемой функцией на отрезке .

Значит, интеграл Лебега не полностью решает задачу восстановления самой функции по ее производной, даже если эта производная существует и конечна во всех точках отрезка (дополнительно требуется выполнение условия 2) из теоремы). В настоящее время построен так называемый интеграл Перрона, который полностью решает эту задачу.

Другой вопрос: раз в теореме производная находится под знаком интеграла Лебега и в интегралах Лебега можно пренебречь множеством меры нуль, нельзя ли вместо условия 1) теоремы потребовать существование конечной производной лишь почти всюду (а не всюду) на отрезке ?

Ответ отрицательный. Г. Кантор построил функцию («канторову лестницу»), производная которой равна нулю почти всюду на отрезке (а значит, суммируема), но не выполняется равенство

.

Эти особенности интеграла Лебега не оказывают серьезного влияния на его важную роль в современном анализе.

Дело, в частности, в том, что существует достаточно широкий класс функций, который полностью можно охарактеризовать с помощью связи дифференцирования и интегрирования по Лебегу. Таковым является класс абсолютно непрерывных на данном отрезке функций.

Функция называется абсолютно непрерывной на данном отрезке , если при любом найдется такое, что для любой системы неналегающих интервалов из с суммарной длиной выполняется неравенство .

Оказывается, для того чтобы функция была абсолютно непрерывной на данном отрезке , необходимо и достаточно, чтобы при всех выполнялось равенство .

Абсолютная непрерывность функций используется при замене переменной и интегрировании по частям в интегралах Лебега.

Так, если функция суммируема на отрезке , функция абсолютно непрерывна и строго возрастает, то

.

Если функции и абсолютно непрерывны на отрезке , то

.

Приведем еще одно важное свойство интеграла Лебега, благодаря которому этот интеграл находит широкие применения в различных областях математики.

Пусть - ряд Фурье -периодической функции . Требуется охарактеризовать класс -периодических функций , для которых выполняется равенство Парсеваля

(аналог теоремы Пифагора для функций).

Оказывается, равенство Парсеваля выполняется тогда и только тогда, когда функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.

Наконец, приведем замечательное свойство интеграла Лебега - теорему о предельном переходе под знаком интеграла для суммируемых функций (ср. со свойством из § 9).

Теорема. Если для измеримых на множестве функций () существует суммируемая на функция такая, что (для любого ; ), и существует для почти всех , то выполняется равенство

.

Оглавление