§10. Сравнение интегралов Римана и Лебега для ограниченных функций

Выясним сначала, какой из этих двух интегралов определен на более широком классе функций, заданных на данном отрезке.

Как известно, если непрерывна на отрезке , то существует . Однако существуют разрывные функции, интегрируемые по Риману, которые могут иметь бесконечное множество точек разрыва. При этом, как доказал А. Лебег, точек разрыва не должно быть много в смысле меры. Точнее, для существования от ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы мера (Лебега) множества ее точек разрыва на этом отрезке равнялась нулю.

Вместе с тем, существует всюду разрывная на данном отрезке () функция Дирихле , интегрируемая по Лебегу и неинтегрируемая по Риману.

Значит, даже для ограниченных на данном отрезке функций из существования интеграла Лебега не следует существование интеграла Римана.

Оказывается, справедливо обратное утверждение.

Теорема. Если функция интегрируема в смысле Римана на данном отрезке , то она интегрируема на этом отрезке и в смысле Лебега, причем выполняется равенство = .

Доказательство. Из интегрируемости функции по Риману на данном отрезке вытекает ее ограниченность на этом отрезке. Поэтому остается доказать измеримость на . Для этого возьмем последовательность равномерных разбиений:

().

Тогда шаг разбиения и равносильно .

Построим две последовательности функций. Для каждого разбиения построим свои две функции и следующим образом: при положим , .

Пусть - множество всех точек разбиений; оно счетно, поэтому . В каждой другой точке последовательность возрастает, а последовательность убывает при . Отсюда следует, что существуют , .

Так как при всех выполняется неравенство , то получим , откуда следует, что .

Заметим, что и ограниченные последовательности функций (одним и тем же числом для всех и всех натуральных ). Поэтому последовательность также ограничена. Функции и измеримы (как ступенчатые функции), поэтому их разность также измерима.

Следовательно, можно перейти к пределу под знаком интеграла (по свойствам интеграла Лебега):

С другой стороны, имеем

Следовательно, почти всюду на , а значит,

почти всюду на .

Итак, является измеримой на функцией. Раз ограничена и измерима, то существует

Далее,

Теорема доказана.

Выясним теперь, как обстоит дело с восстановлением функции по ее производной или как основная теорема интегрального исчисления работает в случае интеграла Римана и как - в случае интеграла Лебега.

Для интеграла Римана основная теорема интегрального исчисления формулируется в различных формах. Речь идет о формуле Ньютона-Лейбница:

(1)

где - первообразная функции на отрезке , т.е. для всех .

Для интегралов Римана это равенство часто может не выполняться. Например, возможны случаи:

1) функция может быть интегрируемой по Риману, но для нее не существует первообразная (на отрезке );

2) для функции может существовать первообразная , но сама функция может быть неинтегрируемой по Риману, даже если существует во всех и ограничена.

Следовательно, интеграл Римана не решает вопрос о восстановлении функции по ее производной даже в случае ограниченности производных.

В случае интеграла Лебега имеет место

Теорема. Если производная существует во всех точках отрезка и она ограничена на этом отрезке, то выполняется равенство для всех ; в частности, при получим равенство .

Доказательство. Сначала докажем требуемое равенство при . Раз существует конечная производная , то сама функция непрерывна на отрезке , а потому она измерима на . Саму производную можно представить в виде следующего предела:

.

Раз под знаком предела находится последовательность измеримых функций, производная как предел измеримых функций, будет измеримой функцией. По свойствам конечного предела функции выполняется неравенство при всех , начиная с некоторого номера . Отсюда получим (), т.е. последовательность функций является ограниченной.

Следовательно, можно перейти к пределу под знаком интеграла Лебега: .

Замечание. По ходу доказательства мы функцию , определенную

на отрезке , продолжаем на отрезок . Для этого достаточно считать, что при .

Итак, теорема доказана при . Легко увидеть, что приведенные выше рассуждения применимы к любому отрезку .

Теорема полностью доказана.

Естественно, возникает вопрос: как восстановить функцию по ее производной, если производная оказывается неограниченной и точек неограниченности бесконечно много?

Для решения, в частности, и этой задачи интеграл Лебега распространяется на неограниченные функции: сначала – на неотрицательные функции, а затем – на функции любого знака.

Оглавление