МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дагестанский государственный университет»

Факультет математики и компьютерных наук

Кафедра математического анализа

Электронное учебно-методическое пособие

Построение множества действительных чисел

Автор – составитель

Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович

Махачкала 2016

Введение

Основная цель данного методического пособия – это ознакомление читателя в краткой и доступной форме со схемами построения множества действительных чисел в курсе математического анализа, а также изложение некоторых методов доказательства тех принципов, которые лежат в основе современного анализа. Именно эти принципы и идеи их доказательства послужили отправной точкой для создания таких современных отраслей математики, как метрическая теория функций, функциональный анализ, топология и др.

Хотя основным объектом изучения математического анализа служат функции и различные виды предела (предел функции, производная, интеграл, суммирование рядов и др.), но свойства этих функций или пределов зависят от структуры числового множества, на котором рассматривается данная функция или предел: является ли это множество, например, ограниченным или нет, замкнутым или открытым, связным или нет и др. Неслучайно многие нерешенные проблемы современного анализа также связаны со структурой числовых множеств. Поэтому для более детального изучения свойств функций и пределов необходим определенный уровень знаний в области теории действительных чисел.

В данном пособии сначала действительные числа определяются в виде бесконечных десятичных дробей, как, например, в учебниках [1] и [2]. На наш взгляд, это позволяет навести более доступные «мостики» к школьному курсу математики.

После обсуждается вопрос о возможности введения действительных чисел на основе дедекиндовых сечений во множестве рациональных чисел (как в учебнике [3]) или на основе фундаментальных последовательностей рациональных чисел (как в учебнике [4]).

Все эти подходы к определению действительных чисел с формальной точки зрения не отличаются друг от друга, ибо получаются множества, которые представляют собой различные реализации аксиоматически построенного множества на базе известных пяти групп аксиом действительных чисел (аксиоматический подход к введению действительных чисел изложен в учебниках [5] и [6]).

Для лучшего освоения материала пособие снабжено задачами и упражнениями по теории действительных чисел.

Оглавление

§ 1. Предварительные замечания

В практической деятельности человек сталкивается не только с потребностью счета тех или иных объектов (для чего необходимы натуральные числа), но и с задачами об измерении различных величин (длины, площади, объема и т.д.). Например, в случае отрезков возникают вопросы:

1) Какой из двух данных отрезков длиннее?

2) На сколько один отрезок длиннее другого?

3) Во сколько раз один отрезок длиннее другого?

Если на вопрос 1) легко ответить путем сравнения данных двух отрезков, то вопрос 2) сам связан с другим (не более понятным) вопросом: что такое, вообще, длина отрезка или, другими словами, как измерить отрезок?

Ответ на этот последний вопрос, как оказалось, тесно связан с вопросом 3). Фиксируется любой отрезок (единица масштаба) и он последовательно разбивается на более мелкие части, равные между собой на каждом шаге. После этого строится «отношение» данного измеряемого отрезка к отрезку, взятому в качестве единицы масштаба, и (при необходимости) его частям следующим образом: выясняется, во сколько раз единица масштаба откладывается на измеряемом отрезке, а в случае остатка – во сколько раз более мелкие части единицы масштаба откладываются на соответствующих остатках. Из полученных таким путем отношений составляется числовое выражение для длины отрезка (относительно выбранной единицы масштаба).

Легко увидеть, что числовое выражение для измерения произвольного отрезка к данной единице масштаба всегда можно найти за конечное число шагов, если для этих двух отрезков и существует третий отрезок , который целое число раз откладывается на каждом из них; такие отрезки и , как известно, называются соизмеримыми.

Ясно, что если бы всевозможные пары отрезков были соизмеримы, то длину любого отрезка можно было бы выразить рациональным числом, какую бы единицу масштаба не выбрать.

Однако, еще древнегреческие математики открыли существование «иррациональности», т.е. существование несоизмеримых отрезков. Оказывается, сторона квадрата не соизмерима с его диагональю.

Действительно, пусть некоторый отрезок откладывается раз на диагонали и раз на стороне данного квадрата. Тогда по теореме Пифагора для отношений диагонали и стороны к этому отрезку выполняется равенство , причем можно считать, что и - взаимно простые числа. Тогда из этого равенства следует, что - четное число. Пусть . Подставив в предыдущее равенство, получим . Отсюда вытекает, что также четно. Мы пришли к противоречию: с одной стороны, и взаимно простые, а с другой стороны, и оба делятся на 2.

Следовательно, не существует отрезка , который целое число раз откладывается на стороне и на диагонали квадрата. Отсюда следует, что длину стороны и длину диагонали квадрата нельзя одновременно выразить с помощью рациональных чисел.

После открытия иррациональности арифметика (наука о «дискретном») и геометрия (наука о «непрерывной протяженности») в Древней Греции были противопоставлены друг другу. Оставляя «непонятные» числа в стороне, Евдокс построил строгую теорию отношений величин (положительных скалярных величин). Строится она аксиоматически (и сразу с охватом всех видов величин: длины, площади, объема и т.д.), причем над величинами одного и того же вида определяются операции сравнения, сложения и вычитания; а также определяется операция умножения отношений величин; эти величины удовлетворяют «аксиоме Архимеда». В наше время уже ясно, что теорию действительных чисел можно было развивать на этой аксиоматической основе. Остаются сомнения лишь в том, осознавали ли древнегреческие математики множества величин как непрерывные или полные в современном смысле слова: они принимали за очевидное, что кривая линия не может перейти с одной стороны прямой на другую, не пересекая ее.

До конца средних веков преобладающим было «наивное» понятие числа, хотя «отношения» Евдокса чаще всего и назывались «числами». Первую попытку получить геометрическое определение поля действительных чисел (на подобие теории отношений величин Евдокса) предприняли Бомбелли и Декарт. Более детально к строгим методам античных математиков, чтобы обрести «геометрическую точность» в вопросе о числе, обратился И. Барроу (учитель Ньютона). Он определил числа как символы, обозначающие отношения величин, над которыми определяются арифметические операции.

Значит, И. Барроу определяет поле действительных чисел аксиоматически, а именно аксиомами величин. Этой точки зрения придерживались Ньютон и его последователи, в их числе Коши.

Первым был Вейерштрасс, который признал интерес полного отделения понятия действительного числа от теории величин. Дело в том, что употребление свойств величин означает возврат к аксиоматическому определению множества действительных чисел, а значит, к предположению существования (непротиворечивости) такого множества. Хотя и этот способ является корректным, Вейерштрасс предпочитает исходить только из рациональных чисел и выводить из них действительные числа (посредством «пополнения»). Эту проблему различными способами решили Вейерштрасс, Дедекинд, Мерэ и Кантор.

Оглавление

§ 2. Рациональные числа

Натуральные и целые числа будем считать известными.

Множество натуральных чисел обозначим через , а множество целых чисел – через .

Множество называется счетным, если между ним и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.

Например, множество целых чисел счетно.

Рациональным числом называется число, представимое в виде отношения некоторого целого числа к некоторому натуральному числу.

Множество всех рациональных чисел обозначим через . Следовательно, .

Можно доказать, что множество счетно. Хотя рациональных чисел бесконечно много, их не хватает, как отмечалось выше, для измерения длин, площадей, объемов и т.д. Нужно расширить множество рациональных чисел.

Для решения этой задачи покажем сначала, что любое рациональное можно представить в виде некоторой бесконечной периодической десятичной дроби.

Так, если - данное положительное рациональное число, то достаточно числитель разделить на знаменатель в столбик. Тогда по крайней мере через шагов остаток будет повторяться (т.к. остаток каждый раз будет меньше, чем ). Следовательно, если продолжить деление, то в частном какая-то группа цифр также будет повторяться; получается периодическая дробь.

Например, ;

Заметим, что во втором случае имеем , так как по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим

Аналогично каждую периодическую десятичную дробь можно обратить в обыкновенную дробь. Более того, если исключить десятичные дроби с периодом 9, то между обыкновенными дробями и периодическими десятичными дробями можно установить взаимно-однозначное соответствие. При этом целые числа считаем десятичными дробями с периодом 0, а для отрицательных чисел отдельно учитываем знак.

Поэтому рациональное число можно определить следующим образом: рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь, взятая со знаком + или – .

Легко привести примеры бесконечных десятичных дробей, которые не являются периодическими. Таковой является, например, дробь Действительно, допустим от противного, что существует некоторый период, который состоит из цифр. Ясно, что в записи нашей дроби найдутся больше, чем подряд идущих нулей. Поэтому, чтобы эти цифры образовали период, все они должны быть нулями, т.е. число 0 должен быть периодом. Но 0 не может быть периодом, так как сколь угодно далеко в записи рассматриваемой дроби встречаются единицы.

Следовательно, существуют непериодические десятичные дроби.

Бесконечные непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами.

Если объединить все периодические и непериодические десятичные дроби, то получается множество действительных чисел и, оказывается, с их помощью задача измерения величин полностью решается.

В следующем параграфе дадим более точное определение действительных чисел.

Оглавление

§ 3. Действительные числа

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь без периода 9, взятая со знаком плюс или минус, т.е. символ вида ; здесь равен нулю или некоторому натуральному числу, а представляют собой цифры 0, 1, 2,…,9.

Действительные числа называются также вещественными числами.

Множество действительных чисел будем обозначать через (от слова Real). Для краткости бесконечные десятичные дроби будем обозначать буквами

Заметим, что рациональные числа входят в состав действительных чисел в виде периодических десятичных дробей. При этом для установления взаимно-однозначного соответствия между множеством и подмножеством периодических десятичных дробей множества следует учесть, что некоторые обыкновенные дроби двояко представимы в виде периодических десятичных дробей: с периодом 0 и с периодом 9. Для определенности в оставляем из этих периодических десятичных дробей один вид, а именно дроби с периодом 0, исключая дроби с периодом 9 (можно было, наоборот, сохранить дроби с периодом 9, исключив дроби с периодом 0).

Дроби вида соответствуют целым числам .

Дроби при со знаком минус будем называть отрицательными числами, а со знаком плюс – положительными числами; дробь будем называть нулем.

Модулем данного действительного числа называется следующая десятичная дробь:

Целой частью действительного числа называется наименьшее целое число , которое не превосходит .

Например, , .

Над действительными числами определяются следующие операции: сравнения, сложения, вычитания, умножения и деления.

Определим операцию сравнения. Будем считать, что и равны между собой, если у них совпадают знаки и выполняются равенства , , ,…

Сравним между собой две положительные дроби и

Будем считать, что , если существует такое, что , ,…, , .

Будем считать, что , если .

Будем считать, что любое отрицательное число меньше, чем ноль и любое положительное число.

По определению целой части для любого действительного числа выполняется неравенство: . Определяется также дробная часть числа как разность между самим числом и его целой частью (точное определение разности чисел дается в § 6).

Ясно также, что .

Чтобы определить арифметические операции над действительными числами, нужны новые понятия: верхние и нижние границы числовых множеств.

Оглавление

§ 4. Точные границы и грани числовых множеств

Множество называется числовым множеством и пишут , если оно пусто или состоит из некоторых действительных чисел.

Числовое множество называется ограниченным сверху, если существует число такое, что для выполняется неравенство ; при этом число называется верхней границей множества .

Наименьшая среди верхних границ множества называется точной верхней границей множества или супремумом ; обозначается так: .

Множество называется ограниченным снизу, если существует число такое, что для выполняется неравенство ; при этом число называется нижней границей множества .

Наибольшая среди нижних границ множества называется точной нижней границей множества или инфимумом ; обозначается так: .

Иногда точные границы множества называются его гранями.

Если множество ограничено и сверху, и снизу, то оно называется ограниченным множеством.

Множество называется неограниченным, если оно неограниченно хотя бы с одной стороны.

Значит, множество является неограниченным сверху, если для существует число такое, что .

Например, множество неограниченно сверху. Действительно, пусть – произвольное действительное число. Если оно отрицательно, то для имеем ; если же , то и .

Если данное множество неограниченно сверху, то для краткости пишут ; если же множество неограниченно снизу, то пишут .

Определение точных границ можно записать с помощью числовых неравенств следующим образом:

, если:

1) ( является одной из верхних границ ),

2) (никакое число , меньшее , не является верхней границей );

, если:

1) ( является одной из нижних границ ),

2) (никакое число , большее , не является нижней границей ).

Пусть . Докажем, что , .

, так как, во-первых, и, во-вторых, любое , меньшее 7, не является верхней границей , ибо .

, так как, во-первых, и, во-вторых, любое , большее 2, не является нижней границей , ибо .

Заметим, что для множества число 7 является максимальным элементом, а число 2 – минимальным, т.е. , .

По аналогии с этим примером можно доказать, что если данное множество обладает максимальным элементом, то он совпадает с супремумом этого множества, т.е. выполняется равенство .

Аналогично, в случае существования минимального элемента.

Легко привести примеры множеств , у которых нет максимального или минимального элемента. Например, , , , , . Возникает вопрос о существовании точных границ таких множеств. Оказывается, любое ограниченное множество обязательно имеет супремум и инфимум (максимум и минимум могут не существовать). Это вытекает из приводимой ниже леммы о точных границах числовых множеств.

Оглавление

§5. Лемма о точных границах

Лемма (Вейерштрасс). Любое ограниченное сверху непустое множество имеет конечный супремум, т.е. .

Аналогично, любое ограниченное снизу непустое множество имеет конечный инфимум, т.е. .

Доказательство. Докажем лемму для множества , состоящего из произвольных десятичных положительных дробей; остальные случаи легко получаются. Пусть множество состоит их положительных десятичных дробей () и оно ограничено сверху. Чтобы найти супремум такого множества, применим так называемый метод очистки множества. Так как множество ограничено сверху, то множество целых чисел также ограничено сверху. Поэтому существует максимум этого множества, который обозначим через . Значит, .

Рассмотрим теперь множество (т.е. мы из отбросили все числа, кроме дробей с целой частью ).

Множество цифр имеет максимальную цифру, которую обозначим через . Составим множество .

После этого выбираем максимальную цифру среди вторых десятичных знаков , которую обозначим через и т.д.

Продолжив этот процесс, придем к некоторой бесконечной десятичной дроби

Если получися десятичная дробь без периода 9, то эта дробь является искомым .

Если же получится десятичная дробь с периодом 9, то преобразуем ее в другую дробь с периодом 0 (т.е. положим );

и снова получим искомый .

Так как по построению из следует, что , дробь без периода 9 является одной из верхних границ множества , т.е. .

Если же получили дробь и от нее перешли к дроби , то …, , откуда снова следует, что .

Остается доказать, что число – наименьшая среди верхних границ множества . Для этого возьмем и покажем, что найдется число такое, что .

Раз – десятичная дробь без периода 9 и , то существует такое, что , но (мы берем десятичную дробь в первоначально полученном виде, без преобразования).

Тогда число из будет принадлежать , причем .

Значит, .

Аналогично доказываем, что существует конечный = (для этого в качестве берутся минимальные элементы среди десятичных знаков ).

Ясно, что если данное множество содержит как положительные дроби, так и отрицательные, а также возможно ноль, то супремум этого множества совпадает с супремумом подмножества положительных дробей.

Пусть теперь состоит из отрицательных десятичных дробей. Тогда легко доказать, что , где .

Аналогично, .

Лемма доказана.

Эта лемма имеет многочисленные приложения, в частности, с ее помощью можно определить арифметические действия над бесконечными десятичными дробями.

Оглавление

§ 6. Арифметические операции над бесконечными дробями

(действительными числами)

Определим сначала сумму двух неотрицательных бесконечных десятичных дробей (без периода 9).

Пусть даны и Рассмотрим множество .

Ясно, что это множество ограничено сверху, так как любой его элемент не превосходит суммы . Поэтому по лемме о точных границах существует его конечный супремум. Этот супремум и называется суммой дробей и . Значит, по определению

Заметим, что каждое множество может иметь единственный супремум, поэтому сумма определена однозначно.

Определим теперь разность двух действительных чисел в том случае, когда . В этом случае разностью дробей и называется следующий супремум:

Легко привести примеры, которые показывают, что если в определении разности вместо брать , получается «неправильное» определение разности десятичных дробей.

Однозначность в приведенном определении разности связана с тем, что разность возрастает с ростом (строгое объяснение дается с помощью предела числовой последовательности).

Теперь уже можно определить сумму двух действительных чисел произвольного знака. Так, если и , то если , и , то . Аналогично рассматриваются другие возможные случаи.

Определим теперь произведение двух действительных чисел. Снова начинаем со случая положительных дробей.

Пусть и Тогда произведением называется следующий супремум:

Указанный супремум существует по лемме о точных границах, так как все произведения ограничены сверху одним и тем же числом .

В остальных случаях для определения сначала находим произведение модулей , а затем выбираем знак произведения: «+» - в случае дробей одного знака и «-» - в случае дробей противоположных знаков; если хотя бы одна дробь совпадает с нулем, то произведение считается равным нулю.

Отношение двух положительных действительных чисел и определяется равенством (по аналогии с разностью):

В остальных случаях знак отношения выбираем как и в случае произведения; считаем при и ; не определено, если

Оглавление

§ 7. Определение степени и логарифма

Для натурального числа под степенью ( будем понимать произведение (само произведение определяется по индукции).

При , по определению, для натурального и .

Определим теперь арифметическое значение корня ой степени , .

Под значением корня будем понимать такое число , для которого выполняется равенство . Существование такого числа строго доказывается с помощью свойств непрерывных функций.

Определим дробную степень действительного числа. Пусть , и - натуральные числа (). Тогда, по определению, . Если , , – натуральное число (), то считаем .

Заметим, что степень не определена при ; корень определен при всех ; корень определен при всех .

Пусть теперь некоторая бесконечная десятичная дробь и . Тогда под степенью , где , будем понимать

Указанный супремум множества существует, так как само множество ограничено сверху числом . Пусть теперь . Тогда, по определению, . При имеем для любого .

Как известно, если , то ; если же , то при всех . Оказывается, это свойство степеней сохраняется для произвольных .

Определим теперь логарифм, используя степень числа.

Пусть , . Тогда под логарифмом понимается такое число , для которого выполняется равенство .

Заметим, что такое число существует в силу свойства непрерывности показательной функции. Значит, по определению логарифма выполняется следующее равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством: .

Свойства степеней и логарифмов, известные из школьного курса, можно строго обосновать с использованием непрерывности показательной и логарифмической функций.

Оглавление

§ 8. Лемма об отделимости множества действительных чисел

Лемма (Дедекинд). Пусть - непустые множества из и пусть для любого и для любого выполняется неравенство . Тогда существует действительное число , которое отделяет множества и , т.е. число такое, что для любого и для любого выполняется неравенство .

Доказательство. Применим лемму о точных границах. Возьмем произвольный элемент . Тогда все элементы множества будут меньше , т.е. множество ограничено сверху числом . Поэтому по лемме о точных границах существует супремум . Каждый является одной из границ , а число является наименьшей среди верхних границ, поэтому для любого . Неравенство для любого вытекает из определения супремума .

Следовательно, для и .

Лемма доказана.

Говорят, что два непустых множества и образуют сечение на множестве , если:

1) ;

2) для и для выполнено неравенство .

При этом множество называется нижним классом сечения, а множество - верхним классом.

Говорят, что множество обладает свойством непрерывности, если любое сечение на нем определяет число , т.е. такое число , для которого выполняется неравенство для и .

Легко доказать, что множество всех рациональных чисел не обладает свойством непрерывности. Действительно, рассмотрим на сечение из множеств

Для этих множеств и пограничное число , поэтому не обладает свойством непрерывности.

Как утверждает лемма об отделимости, множество всех действительных чисел обладает свойством непрерывности.

Оглавление

§ 9. Лемма о вложенных сегментах

Пусть и - некоторые действительные числа. Тогда множество называется сегментом с концами и .

Сегмент называется также замкнутым промежутком или отрезком.

Система вида называется системой вложенных сегментов.

Говорят, что длины вложенных сегментов стремятся к нулю и пишут , если .

Как известно, множество действительных чисел обладает свойством непрерывности, т.е. любое сечение на нем определяет некоторое действительное число. Другими словами, «зазоров» между действительными числами нет, они образуют «сплошное» множество.

Оказывается, свойство непрерывности можно выразить и с помощью вложенных сегментов. Об этом следующая лемма.

Лемма (Кантор). Любая система вложенных сегментов имеет хотя бы одну общую точку; эта точка единственная, если длины вложенных сегментов стремятся к нулю (в этом случае говорят также, что сегменты стягиваются в одну точку).

Доказательство. Применим лемму об отделимости .

Пусть данная система вложенных сегментов. Образуем два множества: и .

Из определения вложенных сегментов ясно, что любой левый конец сегмента не превосходит любого правого конца сегмента, т.е. выполняется неравенство для любых и . Если будет выполняться равенство, то это означает, что точка в виде вырожденного сегмента входит во все сегменты и требуемое легко получается.

Пусть выполняется строгое неравенство для всех и . Тогда по лемме об отделимости найдется точка такая, что для и .

Пусть для определенности . Тогда из следует, что для любого , т.е. для . Так как при , то точка для любого . Значит, для

Итак, мы доказали, что существует хотя бы одна общая для всех сегментов точка .

Пусть теперь длины вложенных сегментов стремятся к нулю и докажем (от противного), что точка единственная.

Допустим, что существуют две различные точки , которые принадлежат всем сегментам. Возьмем положительное число . Тогда, так как длины сегментов стремятся к нулю, существует такой номер , что и .

Значит, .

Получили противоречие: . Поэтому существует единственная точка, общая для всех сегментов, когда их длины стремятся к нулю.

Лемма доказана.

Заметим, что для справедливости леммы существенно, что речь идет о сегментах, а не промежутках других видов.

Возьмем, например, систему вложенных полусегментов

Ясно, что не существует точки, общей для всех этих полусегментов. Действительно, таковой могла быть некоторая положительная точка .

Возьмем такое, что . Тогда ясно, что .

Оглавление

§ 10. Числовая ось. Измерение отрезков

Покажем, что с помощью любого данного отрезка можно измерить «длину» любого другого отрезка .

Для этого возьмем произвольную прямую, фиксируем одну из точек и выберем положительное направление. Отрезок отложим от точки О в положительном направлении.

Прямая, на которой выбраны начало отсчета О, масштаб (масштабная единица) и направление отсчета, называется числовой осью.

Выберем на числовой оси отрезки различных рангов следующим образом. Сначала отрезок отложим от точки О в обоих направлениях на всей прямой. Полученные отрезки назовем отрезками нулевого ранга. Каждый из отрезков нулевого ранга разобьем на 10 равных частей. Полученные новые отрезки назовем отрезками первого ранга. Каждый из отрезков первого ранга разобьем на 10 равных частей и полученные новые отрезки назовем отрезками второго ранга и т.д.

Пусть теперь требуется определить длину данного отрезка . Отложим этот отрезок от О в положительном направлении. Пусть получили отрезок OB и на отрезке OB получилось отрезков нулевого ранга. Через обозначим правый конец последнего отрезка нулевого ранга из отрезка OB, а через – количество отрезков первого ранга, лежащих на отрезке ; и если – правый конец последнего такого отрезка, то аналогично поступаем с отрезком . Продолжаем этот процесс.

Длиной отрезка или «» с масштабной единицей «» называется следующая десятичная дробь:

Если какая-нибудь из точек совпадет с точкой , то получится конечная десятичная дробь, в остальных случаях – бесконечная десятичная дробь.

Фактически показано, что каждой точке числовой оси соответствует некоторое действительное число, т.е. некоторая десятичная дробь (так как вполне аналогично рассматривается случай, когда точка расположена левее точки ).

Обратно, каждой десятичной дроби на числовой оси можно сопоставить единственную точку.

Пусть для определенности . Рассмотрим сегменты вида

Получится система вложенных отрезков. Ясно, что их длины стремятся к нулю:

Следовательно, по лемме о вложенных сегментах существует единственное действительное число , которое принадлежит всем этим сегментам; и этим числом является

Рассмотрим теперь геометрические отрезки …с концами . Получится система вложенных геометрических отрезков на одной и той же прямой. Из геометрии известно, что существует единственная точка на этой прямой, которая принадлежит всем этим отрезкам. Эту точку и сопоставим данному числу

Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Поэтому часто действительные числа называются точками прямой.

Оглавление

§ 11. Лемма о конечном покрытии сегмента интервалами

Пусть или , или . Тогда при интервалом называется множество вида .

Интервал называется также открытым промежутком. Если , то интервал называется конечным.

Любая совокупность интервалов называется системой интервалов; интервалов может быть и бесконечное множество.

Будем говорить, что система интервалов образует покрытие множества , если для любой точки существует такой, что (т.е. каждая точка множества покрывается хотя бы одним из интервалов системы ).

Например, если , то не служит покрытием .

Если данная система служит покрытием некоторого множества и существует подсистема системы , которая также покрывает множество , то говорят, что из покрытия можно выделить подпокрытие для множества .

Лемма (Борель). Из любого покрытия данного сегмента интервалами можно выделить для него конечное подпокрытие.

Доказательство. Применим лемму о вложенных сегментах и метод деления отрезка пополам.

Допустим (от противного), что существует бесконечная система интервалов , которая служит покрытием некоторого сегмента и из которого нельзя выделить конечное подпокрытие для этого сегмента. Разобьем отрезок пополам. Тогда хотя бы для одной половины этого отрезка не существует конечного подпокрытия (в противном случае для всего сегмента существовало бы конечное подпокрытие). Одну из половин сегмента, для которой нет конечного подпокрытия, обозначим через и разобьем пополам. Тогда хотя бы для одной из его половин нет конечного подпокрытия; эту половину обозначим через .

Продолжив этот процесс деления отрезка пополам, мы получим систему вложенных сегментов:

Найдем длины сегментов:

…

Ясно, что длины этих сегментов стремятся к нулю (см. ниже). Поэтому по лемме о вложенных сегментах существует единственная точка , общая для всех этих сегментов. Раз , существует интервал из покрытия такой, что . Фиксируем теперь этот интервал. Раз сегменты стягиваются в точку , то среди них найдется хотя бы один сегмент , который будет находиться в интервале .

Пришли к противоречию: с одной стороны, для сегмента нет конечного подпокрытия из , а с другой стороны, один интервал из этого же покрытия покрывает весь сегмент .

Следовательно, из любого покрытия сегмента системой интервалов можно выделить конечное подпокрытие.

(Покажем, что длины сегментов , построенных в ходе доказательства леммы, стремятся к нулю: . Пусть - любое данное число. Найдем такое , что . Имеем .)

Оглавление

§ 12. Лемма о предельных точках

Пусть и пусть . Тогда называется предельной точкой множества , если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из .

Отметим, что аналогично определяются бесконечно удаленные предельные точки ( и ) множества , но в этом параграфе речь идет о конечных предельных точках .

Напомним, что окрестностью точки называется любой интервал, который содержит эту точку.

Если точка служит серединой окрестности, то такая окрестность называется симметричной окрестностью точки .

Если длина симметричной окрестности равна, например, , то симметричная окрестность называется также -окрестностью точки .

Часто окрестности точки обозначаются так: ; .

Пусть теперь . Тогда называется изолированной точкой множества , если найдется окрестность этой точки, в которой нет других точек множества , кроме .

В качестве примера заметим, что каждая точка сегмента является предельной точкой полуинтервала (при ).

Пусть теперь . Точка является изолированной точкой множества , так как найдется окрестность (например, , в которой содержится только сама точка 4 из множества .

Отметим также, что любая точка из является предельной точкой множества рациональных чисел; другими словами, в любой окрестности любой точки из найдется бесконечное множество периодических десятичных дробей. Поэтому говорят, что множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел.

Из определения предельной точки ясно, что конечное множество и пустое множество не могут иметь предельных точек.

Лемма (Вейерштрасс). Любое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку .

Доказательство. Раз множество ограничено, то по определению оно ограничено и снизу, и сверху, а это значит, существует сегмент , который содержит множество .

Докажем теперь, что хотя бы одна точка сегмента будет служить предельной точкой множества .

Допустим от противного, что это не так, т.е. ни одна из точек сегмента не является предельной точкой множества . Тогда для каждой точки найдется ее окресность , в которой может содержаться самое большое конечное множество точек из . Объединим все эти окрестности в одну систему . Ясно, что получится некоторое покрытие интервалами для сегмента .

По лемме о конечном покрытии из полученной системы можно выделить конечное подпокрытие для сегмента ; пусть интервалы из системы образуют конечное подпокрытие этого сегмента. По построению каждый из этих интервалов не содержит ни одной точки множества или некоторое конечное число точек множества .

Пусть содержит точек из , – точек из ,…, – точек из .

Раз эти окрестности образуют покрытие всего множества , множество состоит не более чем из точек.

Значит, множество состоит из конечного числа точек в противоречие с условием леммы: – бесконечное множество.

Лемма доказана.

Оглавление

§ 13. Эквивалентность основных принципов математического анализа

Доказанные выше леммы: 1) о точных границах, 2) об отделимости, 3) о вложенных сегментах, 4) о конечном покрытии, 5) о предельных точках - называются основными принципами математического анализа и они в различной форме выражают одно и то же свойство множества действительных чисел, а именно свойство непрерывности множества действительных чисел.

Геометрически свойство непрерывности означает, что если действительные числа считать точками прямой, то получается сплошная, т.е. непрерывная прямая без зазоров.

Сами эти леммы, а также методы их доказательства применяются при доказательстве других теорем и решении многих задач математического анализа.

В этих леммах речь шла о поле действительных чисел, определяемом как множество всех бесконечных десятичных дробей (без периода 9). Аналогично обстоит деле в общем случае линейно и архимедовски упорядоченного поля действительных чисел.

Выше нами уже доказано, что для множества бесконечных десятичных дробей среди лемм: 1) лемма о точных границах, 2)лемма об отделимости, 3) лемма о вложенных отрезках, 4) лемма о конечном покрытии интервалами, 5) лемма о предельных точках – каждая следующая вытекает из предыдущей. Для установления их эквивалентности покажем, что из леммы о предельных точках выводится лемма о точных границах, точнее, докажем следующее утверждение:

Если любое бесконечное ограниченное числовое множество имеет хотя бы одну предельную точку, то любое непустое ограниченное числовое множество имеет (конечные) точные границы.

Пусть данное множество ограничено сверху и покажем, что существует (конечный) .

Возможны два случая: в имеется максимальный элемент и в нет максимального элемента.

В первом случае искомый , поэтому рассмотрим второй случай. Раз нет максимального элемента, множество бесконечно, а поэтому по условию имеет хотя бы одну предельную точку. Ясно также, что если – верхняя граница множества , то выполняется строгое неравенство .

Возьмем теперь произвольный элемент и пусть . Если будет содержать предельные точки множества , то положим и ; в противном случае возьмем и .

Вполне аналогично, исходя из точки , строим точки и и т.д.

В результате получим два множества и , причем , и хотя бы одно из множеств и бесконечно.

Для доказательства достаточно рассмотреть два случая:

1) конечно, бесконечно;

2) бесконечно.

Покажем, что в случае 1) искомый .

Действительно, в нет максимального элемента и по построению точек и получим: и – предельная точка множества . Поэтому при любом найдется такое, что . Отсюда по определению точки найдется такое, что .

Значит, .

Покажем теперь, что в случае 2) (когда бесконечно) искомый совпадает с предельной точкой множества ().

Снова по построению точек ясно, что и при любом найдется такое, что , а значит, найдется такое , что . Поэтому .

Вполне аналогично доказывается, что существует (конечный) , если и ограничено снизу.

Эквивалентность приведенных выше пяти основных принципов для множества бесконечных десятичных дробей доказана.

Отметим, что имеется еще одно важное свойство множества действительных чисел, эквивалентное этим пяти принципам, а именно свойство полноты множества действительных чисел.

Оглавление

§ 14. Полнота множества действительных чисел

Полнота числового множества определяется через сходимость определенного вида последовательностей элементов этого множества.

Числовая последовательность называется сходящейся к числу , если .

Числовая последовательность называется фундаментальной, если .

Говорят, что данное числовое множество обладает полнотой, если любая фундаментальная последовательность чисел из сходится к некоторому числу из самого .

Хотя множество рациональных чисел обладает всюду плотностью, легко показать, что оно не обладает свойством полноты.

Как следует из следующего критерия Коши, множество всех действительных чисел обладает полнотой.

Теорема (Коши). Для сходимости последовательности действительных чисел к некоторому действительному числу необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство этой теоремы можно найти во всех учебниках математического анализа.

Напомним, что для доказательства достаточности можно взять множество значений данной фундаментальной последовательности

Если конечно, то в силу фундаментальности последовательности легко видеть, что один из элементов множества и будет пределом этой последовательности.

В случае бесконечности множества в силу леммы о предельных точках множество имеет хотя бы одну предельную точку . Теперь в силу фундаментальности последовательности легко показать, что число и будет ее пределом.

Следовательно, полнота множества всех действительных чисел вытекает из леммы о предельных точках.

Верно и обратное утверждение: из того что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится, вытекает, что любое ограниченное бесконечное множество действительных чисел имеет хотя бы одну (конечную) предельную точку.

Действительно, пусть бесконечное множество ограничено снизу числом , сверху числом . Выделим из фундаментальную последовательность следующим образом.

Возьмем . Разделим пополам и на одной из его половин , содержащей бесконечно много точек из _{,
возьмем точку , .}

Разделив пополам, на одной из его половин , содержащей бесконечно много точек из _{,
возьмем точку , отличную от и т.д.}

_{Аналогично
на -м шаге получим различные точки и отрезок}, содержащий бесконечно много точек из _{.
Возьмем точку , отличную от .}

_{Продолжив этот процесс, получим
последовательность различных точек}, причем при любом по построению _{при всех и . Значит, для любого при всех и получим .}

_{Теперь
очевидно, что полученная последовательность является фундаментальной,
а поэтому по условию сходится к некоторому действительному числу . Раз все элементы последовательности} различны и принадлежат , то _{будет предельной
точкой этого множества}.

Итак, фактически доказано, что свойства полноты и непрерывности множества всех действительных чисел эквивалентны между собой.

Оглавление

§ 15. О других моделях действительных чисел

Выше мы, следуя К. Вейерштрассу, определили действительное число как бесконечную десятичную дробь. Взяли множество символов, а именно множество всех бесконечных десятичных дробей (без периода 9). На нем определили операции порядка и арифметические операции. Показали, что эти операции удовлетворяют известным законам арифметики; другими словами, множество бесконечных десятичных дробей образует линейно и архимедовски упорядоченное поле. Это поле обладает свойством непрерывности, которое можно выразить в различных формах. В результате получили модель Вейерштрасса действительных чисел.

Дедекинд построил другую модель действительных чисел, основанный на «сечениях» множества рациональных чисел.

Напомним, что два непустых множества и образует дедекиндово сечение данного числового множества , если и для любых и выполняется неравенство .

Действительным числом по Дедекинду называется всякое сечение множества рациональных чисел.

Сечения множества рациональных чисел бывают следующих типов:

1) в нижнем классе есть наибольший элемент, но в верхнем классе нет наименьшего;

2) в нижнем классе нет наибольшего элемента, но в верхнем классе есть наименьший;

3) в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем классе нет наименьшего.

Говорят, что первые два типа сечений определяют рациональные числа, а сечение третьего типа определяет иррациональное число.

Оказывается, во множестве всех таких сечений можно определить операции порядка и арифметические операции; оно становится линейно и архимедовски упорядоченным полем.

Можно доказать, что любое сечение полученного множества действительных чисел по Дедекинду (т.е. множества всех дедекиндовых сечений множества рациональных чисел ) определяет некоторое действительное число; другими словами, либо в нижнем классе есть наибольший элемент, но в верхнем классе нет наименьшего, либо в нижнем классе нет наибольшего элемента, но в верхнем классе есть наименьший (сечения третьего типа множества действительных чисел по Дедекинду не возможны).

Это свойство называется непрерывностью множества действительных чисел по Дедекинду. В данном смысле множество рациональных чисел свойством непрерывности не обладает.

Г. Кантор и Ш. Мерэ построили модель множества действительных чисел, исходя из фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, если для любого рационального найдется номер такой, что при всех натуральных и выполняется неравенство .

Две фундаментальные последовательности и называются эквивалентными, если при , т.е. если для любого рационального найдется номер такой, что при всех натуральных выполняется неравенство .

Рассмотрим классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Легко показать, что для последовательности из данного класса и данного рационального числа выполняется условие при тогда и только тогда, когда для любой другой последовательности из того же класса выполняется условие при . Заметим, что стационарная последовательность также принадлежит тому же классу фундаментальных последовательностей.

Это позволяет ввести следующее

Определение. Действительным числом называется любой класс эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Легко показать, что существуют два типа классов эквивалентных между собой последовательностей рациональных чисел: первый – которые содержат стационарные последовательности рациональных чисел ; второй – которые не содержат стационарных последовательностей рациональных чисел. Действительное число, определяемое классом первого типа, называется рациональным, а действительное число, определяемое классом второго типа – иррациональным.

Над новыми действительными числами по Кантору (классами фундаментальных последовательностей рациональных чисел) определяются арифметические операции и правила сравнения.

Как отмечалось выше, различают два типа классов эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел, при этом второй тип классов не содержит стационарных последовательностей рациональных чисел.

Если теперь определить фундаментальную последовательность действительных чисел (по Кантору) как последовательность, для которой ,

то окажется, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел (по Кантору) эквивалентна некоторой стационарной последовательности действительных чисел (рациональных или иррациональных).

Это свойство действительных чисел (по Кантору) называется полнотой множества всех таких чисел.

Подробности построения моделей действительных чисел Дедекинда и Кантора-Мерэ имеются в учебниках математического анализа ([4]).

Оглавление

§ 16. Об аксиоматическом подходе к построению множества

действительных чисел

Выше мы действительными числами назвали конкретные символы, а именно бесконечные десятичные дроби (без периода 9), определили операцию сравнения и арифметические операции над ними и выяснили, что множество этих действительных чисел является линейно и архимедовски упорядоченным полем, которое обладает свойством непрерывности; при этом свойство непрерывности можно сформулировать по-разному, используя тот или иной из основных принципов анализа.

Естественно, относительно выбора определенных символов при определении действительных чисел возникают вопросы: почему берутся десятичные, а не двоичные, троичные или другие дроби; почему берутся дроби, а не другие объекты, скажем, дедекиндовы сечения, фундаментальные последовательности и т.д.

Трудно (или невозможно) найти объяснение выбору тех или иных символов, оставаясь в рамках вопроса «Что такое действительное число?». Поэтому поставим вопрос по-другому: для чего нужны действительные числа?

В первую очередь, действительные числа нужны для выяснения количественных отношений между величинами. В случае, скажем, длин отрезков выясняем:

1) возможность сравнения любых двух длин;

2) возможность сравнения на сколько или во сколько раз длиннее.

Следовательно, для решения различных задач на измерение величин нам нужны не сами символы, а их свойства: возможность сравнения любых двух символов; свойство символов быть суммой (разностью); свойство быть произведением (отношением); выразимость любого отношения через символ. Поэтому вводятся операции: сравнения (>, <, =), арифметические () и свойство непрерывности (с возможным дополнением аксиомой Архимеда) для выражения символом любого отношения (т.е. для возможности измерения любой данной величины); при этом для ответа на вопросы на сколько и во сколько раз в случае двух равных величин необходимы нейтральные символы 0 и 1.

Значит, раз нас интересуют лишь определенные свойства символов, а не сами символы, можем назвать действительными числами любые объекты, обладающие этими свойствами.

Определение. Множеством действительных (вещественных) чисел называется линейно упорядоченное поле, которое обладает свойством непрерывности.

Другими словами, множество действительных чисел – это множество любых объектов, в состав которых входят нейтральные элементы 0 и 1, причем элементы множества в качестве аксиом обладают следующими свойствами:

А) арифметические свойства суммы и произведения;

Б) арифметические свойства неравенств;

В) свойство непрерывности.

Если в качестве свойства непрерывности берется утверждение леммы Кантора о вложенных сегментах или свойство фундаментальных последовательностей Коши, то дополнительно требуется выполнение в аксиомы Архимеда.

Из множества действительных чисел легко выделяется его подмножество натуральных чисел 1, 1+1, 1+1+1, …, обозначаемых последовательно символами 1, 2, 3, …

Отметим еще раз, что существуют множества действительных чисел, составленных из разных конкретных объектов. Все они обладают указанными выше свойствами А)-В) множества . Такие множества называются моделями или конкретными реализациями множества .

Таким образом, существуют модели множеств символов, удовлетворяющих системе аксиом множества ; другими словами, эта система аксиом непротиворечива.

Оглавление

§ 17. Заключительные замечания

Можно доказать, что модели или конкретные реализации множества , т.е. множество бесконечных десятичных дробей, множество дедекиндовых сечений, множество фундаментальных последовательностей и др. – все изоморфны между собой относительно операций сравнения (>, <, =), арифметических операций и, скажем, точных границ; другими словами, между этими множествами символов можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее соответствие между результатами этих операций и между значениями точных границ для каждой пары реализаций множества .

Значит, если нас интересуют свойства действительных чисел (а не сами объекты), то все равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из определенных символов (десятичных дробей, дедекиндовых сечений, фундаментальных последовательностей и др.) или аксиоматически определяем действительные числа.

Аксиоматический подход к определению действительных чисел ближе к сути чисел как абстракций, выражающих количество или количественные отношения в природе.

Однако в этом случае остается дополнительно доказать существование множества с требуемыми свойствами (непротиворечивость системы аксиом). Таким множеством может служить множество бесконечных десятичных дробей (или любая из других реализаций множества ).

Далее, к выбору той или иной системы аксиом мы приходим после глубокого анализа конкретных примеров (реализаций) множества действительных чисел. По образному выражению Б. Рассела, «аксиоматическое определение обладает теми же преимуществами перед построением, что и воровство перед честным трудом».

Если сравнить (снова лишь с методической стороны) между собой различные реализации множества действительных чисел, то десятичные дроби более наглядны, чем сечения Дедекинда, а пути построения множества десятичных дробей короче, чем пути построения как множества сечений Дедекинда, так и множества фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Множества бесконечных десятичных дробей, сечений Дедекинда и фундаментальных последовательностей рациональных чисел строятся, исходя из множества натуральных чисел. Поэтому вопрос о существовании этих множеств сводится к существованию (непротиворечивости) множества натуральных чисел.

Имеются два подхода к построению множества натуральных чисел .

Первый подход: принять известными основные свойства (аксиомы) множества , определить операции сравнения и допустимые арифметические операции на нем, затем, исходя из натуральных чисел, построить множества целых и рациональных чисел. Сторонник этого подхода Кронекер писал: «Бог создал натуральный ряд, остальное – дело рук человеческих».

Систему аксиом натурального ряда разработали Дедекинд и Пеано, но известны как аксиомы Пеано.

Определение. Множество натуральных чисел - это множество элементов с возможным отношением «следует за», для которых как аксиомы выполняются свойства (в них означает элемент, следующий за элементом ):

I. Существует число , которое не следует за никаким другим.

II. Из следует .

III. Из следует .

IV. Любое подмножество , если оно содержит 1 и любое в паре с , совпадает с .

На принципе индукции (т.е. аксиоме IV) основан метод математической индукции: для того чтобы доказать, что некоторым свойством обладают все натуральные числа, достаточно доказать это свойство для числа 1, а затем – для произвольного натурального при условии, что этим свойством обладает число .

Отметим, что сумма и произведение произвольных натуральных чисел и определяются соответственно свойствами

1) для любого ;

2) для любых и

и свойствами

1) для любого ;

2) для любых и .

Второй подход к построению натуральных чисел (и на их базе целых и рациональных чисел) называется теоретико-множественным.

Следуя Г. Фреге, натуральным числом называется мощность множеств класса равночисленных (конечных) множеств.

Напомним, что два множества называются эквивалентными, если между всеми их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие; при этом говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность (одинаковое количество элементов – в случае конечных множеств).

Заметим, что этот второй подход к построению натуральных чисел также опирается на аксиомы, но на систему аксиом теории множеств.

Приведем лишь отдельные из таких аксиом, чтобы иметь некоторое представление о них.

Аксиома объемности. Два множества равны, если только они имеют одни и те же элементы.

Аксиома выделения. По данному свойству из любого данного множества можно выделить все те элементы, и только те, которые обладают свойством .

Аксиома подмножеств. Для любого данного множества существует множество всех его подмножеств.

В связи с этой аксиомой отметим, что по своему знаменитому диагональному методу Кантор доказал, что мощность любого данного множества строго меньше мощности множества всех его подмножеств. Отсюда, в частности, вытекает, что в теории множеств с такой системой аксиом не может существовать «множество всевозможных множеств».

Аксиома бесконечности. Существует (индуктивное) множество, которое содержит пустое множество как элемент и вместе с любым своим элементом множество (т.е. к добавлено одноэлементное множество ).

Опираясь на эту аксиому, фон Нейман построил наименьшее индуктивное множество с элементами мощности которых обозначил символами 0, 1, 2, … (и назвал натуральными числами).

В математическом анализе часто используется также

Аксиома выбора. Из каждого множества любого данного семейства множеств можно выбрать ровно по одному элементу так, что они образуют определенное множество.

Аксиома выбора (Цермело) применяется, например, для построения неизмеримых по Лебегу множеств.

Оглавление

§ 18. Задания для самостоятельной подготовки

Задача 1. Выберите все верные варианты ответов:

1. Бесконечное ограниченное числовое множество…

а) всегда имеет обе точные границы;

б) может иметь только одну точную границу;

в) не может иметь конечных границ;

г) может иметь одну конечную и одну бесконечную точные границы.

а) Инфимум любого подмножества натуральных чисел совпадает с его минимумом;

б) если числовое множество имеет максимум, то он совпадает с его супремумом;

в) супремум любого множества совпадает с его максимумом;

г) любое числовое множество имеет хотя бы одну точную границу.

3. Супремум множества значений функции равен…

а) 4; б) 3; в) 2; г) .

4. Супремум множества значений функции равен…

а) 1; б) ; в) 2; г) .

5. Супремум множества правильных обыкновенных дробей равен…

а) 1; б) 0; в) 2; г) .

Задача 2.

1. Найти инфимум множества неправильных (положительных) обыкновенных дробей. (1)

2. Найти супремум множества . (1)

3. Найти супремум множества . ()

4. Найти сумму бесконечных десятичных дробей и ()

5. Найти супремум множества . (2)

Задача 3. Выберите все верные варианты ответов:

а) Любая система вложенных сегментов имеет непустое пересечение;

б) система вложенных интервалов может иметь непустое пересечение;

в) если система вложенных интервалов имеет пустое пересечение, то их длины стремятся к нулю;

г) любая система вложенных замкнутых промежутков имеет непустое пересечение.

а) Любое бесконечное ограниченное числовое множество имеет хотя бы одну конечную предельную точку;

б) ограниченное числовое множество может иметь бесконечно много предельных точек;

в) конечные множества состоят лишь из изолированных точек;

г) любое числовое множество имеет хотя бы одну изолированную точку.

3. Пусть -произвольное числовое множество. Тогда верно утверждение:

а) Для ограниченности необходима конечность .
б) Для конечности необходима ограниченность .
в) Для конечности достаточна ограниченность .
г) Необходимым и достаточным условием ограниченности является конечность .

4. Пусть . Тогда верно утверждение:
а) не существует, б) не существует,
в) не существует, г) не существует.

5. Выберите неверное утверждение:

а) В любой окрестности любого действительного числа найдется рациональное число.
б) Любое действительное число расположено между двумя целыми числами.
в) Супремум ограниченного множества рациональных чисел всегда рациональное число.
г) Инфимум любого множества натуральных чисел является натуральным числом.

6. Выберите верное утверждение:
а) Любая система сегментов имеет непустое пересечение.
б) Любое числовое множество имеет хотя бы одну конечную предельную точку.
в) Если некоторая система сегментов имеет единственную общую для этих сегментов точку, то их длины обязательно стремятся к нулю.
г) Система вложенных интегралов необязательно имеет общую для всех этих интервалов точку.

7. Пусть . Тогда

а) ; б) ;
в) не существует; г) не существует.

8. Пусть . Тогда
а) не существует; б) ;
в) не существует; г) .

9. Пусть - ограниченное числовое множество. Тогда
а) всегда ; б) возможно ;
в) всегда ; г) возможно .

10. Пусть - ограниченное числовое множество. Тогда всегда
а) существует число, равное ; б) существует число, равное ;
в) .

11. Пусть - множество всех отрицательных чисел. Тогда
а) ; б) ;
в) существует ; г) существует .

12. Пусть . Тогда
а) ; б) ; в) не существует.

13. Пусть - некоторое множество отрицательных чисел. Тогда

а) всегда существует и является отрицательным числом;
б) может быть положительным числом;
в) любое положительное число служит верхней границей ;
г) не существует.

14. Для существования ( - числовое множество) ограниченность служит
а) необходимым и достаточным условием;
б) необходимым, но не достаточным условием;
в) достаточным, но не необходимым условием;
г) ни необходимым, ни достаточным условием.

15. Пусть -произвольное числовое множество. Тогда верно утверждение:
а) для ограниченности необходима конечность ;
б) для конечности необходима ограниченность ;
в) для конечности достаточна ограниченность ;
г) необходимым и достаточным условием ограниченности является конечность .

16. Пусть . Тогда верно утверждение:
а) не существует; б) не существует;
в) не существует; г) не существует.

17. Выберите неверное утверждение:

а) в любой окрестности любого действительного числа найдется рациональное число;
б) любое действительное число расположено между двумя целыми числами;
в) супремум ограниченного множества рациональных чисел всегда рациональное число;
г) инфимум любого множества натуральных чисел является натуральным числом.

18. Выберите верное утверждение:

а) любая система сегментов имеет непустое пересечение;
б) любое числовое множество имеет хотя бы одну конечную предельную точку;
в) если некоторая система сегментов имеет единственную общую для этих сегментов точку, то их длины обязательно стремятся к нулю;
г) система вложенных интегралов необязательно имеет общую для всех этих интервалов точку.

19. Пусть . Тогда

а) ; б) ;
в) не существует; г) не существует.

20. Пусть . Тогда
а) не существует; б) ;
в) не существует; г) .

21. Пусть - ограниченное числовое множество. Тогда

а) всегда ; б) возможно ;
в) всегда ; г) возможно .

22. Пусть -ограниченное числовое множество. Тогда всегда

а) существует число, равное ; б) существует число, равное ;
в) .

23. Пусть - множество всех отрицательных чисел. Тогда
а) ; б) ;
в) существует ; г) существует .

24. Пусть . Тогда

а) ; б) ; в) не существует.

25. Пусть - некоторое множество отрицательных чисел. Тогда
а) всегда существует и является отрицательным числом;
б) может быть положительным числом;
в) любое положительное число служит верхней границей ;
г) не существует.

26. Для существования ( - числовое множество) ограниченность служит

а) необходимым и достаточным условием;

б) необходимым, но не достаточным условием;
в) достаточным, но не необходимым условием;
г) ни необходимым, ни достаточным условием.

Оглавление

Литература

1. Никольский С.М. Курс математического анализа Т. 1,2. М.: Наука, 1991.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1,2. М., 1982.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3. М.: Наука, 1963.

4. Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. Т. 1.М.: Гостехиздат, 1957.

5. Зорич В.А. Математический анализ. Издво: МЦНМО, 2007.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1. М.: Высшая школа, 1981.

7. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., 1999.

8. Макаров И.П. Теория функций действительного переменного. М.: высшая школа, 1962.

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

§ 1. Предварительные замечания

§ 2. Рациональные числа

§ 3. Действительные числа

§ 4. Точные границы и грани числовых множеств

§5. Лемма о точных границах

§ 6. Арифметические операции над бесконечными дробями

(действительными числами)

§ 7. Определение степени и логарифма

§ 8. Лемма об отделимости множества действительных чисел

§ 9. Лемма о вложенных сегментах

§ 10. Числовая ось. Измерение отрезков

§ 11. Лемма о конечном покрытии сегмента интервалами

§ 12. Лемма о предельных точках

§ 13. Эквивалентность основных принципов математического анализа

§ 14. Полнота множества действительных чисел

§ 15. О других моделях действительных чисел

§ 16. Об аксиоматическом подходе к построению множества

действительных чисел

§ 17. Заключительные замечания

§ 18. Задания для самостоятельной подготовки

Литература