Тема 8. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

8.4. Интегрирование рациональных функций

8.5. Интегрирование тригонометрических функций

8.6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

8.1. Непосредственное интегрирование

а) Применение таблицы: предложенный интеграл оказался одним из табличных интегралов. В этом случае требуется безошибочно найти соответствующую формулу таблицы основных интегралов и ею воспользоваться.

Пример 1.

1. (формула 14)

2. (формула 16)

б) Метод разложения: предложенный интеграл после применения линейных свойств (4 и 5) неопределённого интеграла заменяется на алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 2.

Ответ: .

Пример 3.

Ответ: .

Пример 4.

Ответ:

в) Подведение под знак дифференциала: предложенный интеграл удается свести к табличному с помощью изменения переменой интегрирования или за счёт преобразований под знаком дифференциала. При этом используют следующие формулы:

d(j(x)) = j'(x)dx;

и т.д.

Далее используют тот факт, что если известен результат

то равенство

будет справедливо для любой дифференцируемой функции u = j(x).

Пример 5.

Ответ: .

Пример 6.

Ответ: .

Пример 7.

Ответ: .

Пример 8.

Ответ: .

Пример 9.

Ответ: .

8.2. Интегрирование подстановкой

Подстановка (или замена переменной) базируется на следующей теореме.

Теорема 1. Если не удаётся найти интеграл непосредственно, то можно выбрать такую функцию x = j(t), удовлетворяющую условиям:

1) j(t) непрерывна при t Î (a;b), соответствующем интервалу xÎ (a;b),

2) дифференцируемая при tÎ (a;b);

3) имеет обратную функцию t = j^–1(x),

чтобы , t = j^–1(x), стал табличным или более простым. Иногда для упрощения интеграла можно сделать замену t = y(x).

Замечание. Выбор правильной подстановки в значительной степени зависит от искусства вычисляющего.

Пример 10.

Ответ: .

Пример 11.

Ответ: .

Пример 12.

Ответ: .

Пример 13.

Ответ: .

8.3. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям базируется на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на интервале (a;b) функция v(x)×u'(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x)×v'(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения:

(u(x)×v(x))'= u '(x)×v(x) + u(x)×v '(x)

и свойству неопределённого интеграла:

можно записать:

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы интеграл оказался легко интегрируемым.

Практика показывает, что большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы.

1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln²x; lnj(x); arcsin²x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных.

2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

, ,

где a,b,a,n,A – некоторые постоянные числа, A > 0, n Î N.

При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)ⁿ и интегрировать по частям n раз.

3) К третьей группе относятся интегралы вида:

, , ,

где a, b, A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

Замечание. Указанные три группы не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Пример 14.

Ответ:

Пример 15.

Ответ:

Пример 16.

Ответ:

Пример 17.

Ответ:

Пример 18.

Далее необходимо решить уравнение:

Пусть, тогда уравнение запишется в виде:

Ответ: .

8.4. Интегрирование рациональных дробей

Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей

Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной.

Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I . ,

II. ,

III. ,

IV.

Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Пример 20. Представить дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:

Следовательно, дробь можно записать в виде:

Ответ: .

Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.

Разложение правильной рациональной дроби (m<n) на сумму простых дробей можно выполнить по следующей схеме:

· Найти корни многочлена Q_n(x) и представить его в виде произведения простых множителей:

где ,

· Записать разложение дроби с неопределёнными коэффициентами:

· Определить коэффициенты

суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо всё разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби к P_m(x). Приравнивая в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – искомые коэффициенты.

Пример 21. Разложить дробь на сумму простых дробей.

1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:

2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:

3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение дроби к общему знаменателю и приравняем числители дробей.

Следовательно, дробь можно записать в виде:

Ответ: .

Интегрирование простых дробей

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).

I тип.

II тип.

III тип.

Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

Пример 22. Найти интеграл от дроби III типа:

(D = 16 – 52 < 0 Þ дробь III типа)

Ответ: .

Пример 23. Найти интеграл от дроби IV типа:

Ответ: .

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:

где T_m_–_n(x) и R_r(x) – многочлены степени m–n и r соответственно (причём r < n).

2) Разложить правильную рациональную дробь на сумму простых дробей.

3) Вычислить интегралы от многочлена T_m_–_n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Пример 24. Найти интеграл

1) Дробь – неправильная рациональная дробь. Выделим её целую часть:

Поэтому можно записать:

2) Полученную правильную дробь разложим на сумму простых дробей:

Отсюда следует: .

Значит, подынтегральную рациональную дробь можем представить в виде:

3) Найдём интеграл:

Ответ:

8.5. Интегрирование тригонометрических выражений

1) Интеграл вида

а) Если n – чётное число и m – чётное, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:

б) Если одно из чисел m или n – нечётное, то выполняют замену:

t = sin x, если n – нечётное;

t = cos x, если m – нечётное.

Эта замена приводит к интегрированию степенных интегралов или рациональных дробей.

в) Если оба числа m и n – нечётные, то интеграл берется как в случае замены:

t = sin x, так и t = cos x.

Пример 25. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 26. Вычислить интеграл:

Ответ:

Пример 27. Вычислить интеграл:

Ответ:

2) Интегралы вида:

; ;

где

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

Пример 28. Вычислить интеграл:

Ответ:

3) Интеграл вида: , где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональной дроби с помощью замены:

;

; .

Пример 29. Вычислить интеграл:

Ответ: .

4) Интегралы вида: , где f(u;v) – рациональная функция двух переменных.

Такие интегралы находят сведением к интегралу от рациональной дроби с помощью замены:

;

Пример 30. Вычислить интеграл:

Ответ:

5) Интегралы вида: ; , где .

Такие интегралы находят после предварительного применения формул:

;

или с помощью замены:

;

или .

Пример 31. Вычислить интеграл:

Ответ:

8.6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

1) Интеграл вида

Такие интегралы находят с помощью преобразований и замены, аналогичных преобразованиям и замене для нахождения интеграла от простой рациональной дроби III типа.

Пример 32. Вычислить интеграл: