Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1. Определение производной, ее геометрический и механический смысл

4.2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

4.3. Таблица производных основных элементарных функций

4.4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

4.5. Правила дифференцирования

4.6.Дифференцирование функции, заданной неявно

4.7. Производные показательной и степенной функций

4.8. Производные обратных тригонометрических функций

4.9. Дифференциал функции

4.10.Производные и дифференциалы высших порядков

4.1. Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение. Dy= f(x+ Dx) – f(x) = =.

.

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при Dt ® 0:

V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀ (рис. 5).

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx ® 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg j = , j – угол наклона секущей M₀ M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)):

y = f(x₀) + f ' (x₀) × (x – x₀).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

4.2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)

Вывод: так как ln x = log _e x, то, используя производную, для (log _a x), можно записать:

.

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

4.3. Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a×x^{a – 1}

3. (a^x)' = a^x×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_a x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

1. (ln x)' =

2. (sin x)' =cos x

3. (cos x)' = – sin x

4. (tg x)' =

5. (ctg x)' = –

6. (arcsin x)' =

7. (arccos x)' = –

8. (arctg x)' =

9. (arcctg x)' =

4.4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.

Доказать: A = f '(x).

Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению Dy = A × Dx + (Dx) × Dx, где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Разделим это равенство на Dx ≠ 0:

Перейдём к пределу при Dx ® 0:

существует, а значит f '(x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Пусть f ' (x) – существует. Нужно доказать, что f(x) дифференцируема.

Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать: , где (Dx) ® 0 при D x® 0.

Умножим это равенство на Dx:

Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

4.5. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV – U×V=

= U×DV + V×DU + DU×DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Следовательно,

(U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции: (C×U(x))' = C×U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е. (f(u(x)))' = f ' (u) ×u' (x).

Теорема доказана.

4.6. Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y'.

Пример. Найти y', если функция y задана уравнением:

x³ + y³ – xy = 0

Решение.

3x² + 3y²×y’ – y – xy’ = 0

y’(3y² – x) = y – 3x²

Ответ: .

4.7. Производные показательной и степенной функций

Теорема 1. Степенная функция y = x^a (aÎR) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(x^a)' = a ×x^{a – 1}.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x^a, предполагая x > 0: ln y = a× ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x^a неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y': .

Подставим в полученное равенство y = x^a:

, .

Теорема доказана.

Теорема 2. Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(a^x)' = a^x × ln a

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = a^x:

ln y = x ln a.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = a^x неявно. Найдём производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y': y' = y × ln a.

Подставим в полученное равенство y = a^x : (a^x)' = a^x × ln a.

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(e^x)' = e^x × ln e или (e^x)' = e^x.

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U(x))^V(x) по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

4.8. Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 1. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом xÎ(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения: .

Выразим из полученного равенства y': .

Но при . Поэтому , так как .

Следовательно, получаем: .

Теорема 2. Функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула: .

Теорема 3. Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

Теорема 4. Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

Теоремы 2, 3, и 4 доказываются аналогично теореме 1.

4.9. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx):

,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается

dy = y' (x)× Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается: dy = y' (x)× dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Пример. Вычислить приближённо

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмём x₀ = 4, приращение Dx = 0,08, и подставим в формулу:

,

, где D << 0,08.

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x₀ (рис. 6):

Из DM₀AN

AN = M₀A×tg a = Dx×f '(x₀) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+Dx (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство: dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство:

dy = y'(x)dx .

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то

y' (x) = f ' (u) × u' (x).

Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)×u'(x)dx = f '(u)×du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно, du = u' (x)×dx.

Теорема доказана.

4.10. Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f '(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается: .

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается: .

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается:

.

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d²y и вычисляемое по формуле:

,

если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x):

,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.