10.1. Интегралы с бесконечными пределами
10.2. Интегралы от разрывных функций
При
изучении определённого интеграл от функции f (x), требуется, чтобы функция f (x) удовлетворяла следующим условиям:
·
была
определена на конечном отрезке [a;b];
· была непрерывна на отрезке [a;b].
Если нарушено хотя бы одно из
указанных условий, то речь будет идти о несобственных
интегралах первого и второго рода.
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на
промежутке [a;+¥) или
(–¥;a] или (–¥;+¥).
Определение 1. Если существует
конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от
функции f(x) на
бесконечном промежутке [a;+¥), обозначается и в этом случае
считается, что интеграл сходится.
Если не существует или
равен ¥, то считается, что интеграл расходится.
Аналогично
определяются интегралы:
Если пределы конечные, то
соответствующий интеграл считают сходящимся,
а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл
считают расходящимся.
Пример 1.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл:
Так как получили конечное число, то
интеграл сходится и равен .
Ответ: .
1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не
определена, либо имеет разрыв. Такую точку x = b
будем называть особой точкой функции f (x).
Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от
функции f(x) на отрезке
[a;b] и
обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:
.
Если конечный предел не существует или он бесконечный, то
говорят, что несобственный интеграл расходится.
2) Пусть функция y = f (x) определена
и непрерывна на отрезке [a;b], а в
точке x = a либо не определена, либо имеет
разрыв. Такую точку x =
a называют особой точкой функции f (x).
Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным
интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом
.
При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывается равенство:
.
Если конечный предел не существует
или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Замечание.
Если функция f(x) имеет разрыв в некоторой точке x = c внутри отрезка
[a;b], то по
определению полагают:
при условии, что оба предела в правой
части существуют, и e и d
не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным
интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке
[a;b] и
обозначается символом:
.
Сходимость или расходимость такого
интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.
Пример 2.
Исследовать на сходимость:
Так
получили конечное число, то сходится и равен «–1».
Ответ:
Пример 3.
Исследовать на сходимость:
Так
как получили конечное число, то сходится и равен .
Ответ: .
Пример 4. Исследовать
на сходимость:
Так как получили
бесконечность, то расходится.
Ответ: расходится.