Тема 8. Исследование функций

8.4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

8.6. Схема исследования функции. Построение графика

8.1. Асимптоты графика функции

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая называется наклонной асимптотой кривой при (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

где (x) – бесконечно малая функция при (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при (или) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде:

, где при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:

где при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при прямая y = 1×x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

8.2. Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x₁ и x₂, принадлежащих этому промежутку, из условия x₂> x₁ следует неравенство:

f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x₁ и x₂ из промежутка (a;b). Для определённости предположим, что x₂ > x₁.

На отрезке [x₁;x₂] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x₁; x₂], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x₁; x₂), в которой выполняется равенство:

f(x₂) – f(x₁) = f' (c) × (x₂ – x₁).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x₂) – f(x₁) > 0, т.е. из условия x₂ > x₁следует неравенство f(x₂) > f(x₁). А так как x₁ и x₂–любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если для любых , то . Поэтому, то есть из условия x₂ > x₁ следует неравенство f(x₂) < f(x₁). Так как x₁ и x₂ любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

8.3. Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x₀ÎD(f) максимум y_max (минимум y_min), если существует такая окрестность точки x₀, в которой для всех x выполняется неравенство:

f(x₀) > f(x) (f(x₀) < f(x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x₀, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция y = f(x) в точке x₀ имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x₀ f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что для любого Dx ≠ 0 справедливо неравенство: f(x₀+Dx) – f(x₀) < 0. Разделим это неравенство на Dx, получим:

при Dx > 0:

при Dx < 0:

Перейдём к пределам:

Так как существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x₀ – точка минимума.

2) Если f '(x₀) не существует или равна ¥, то точка x₀ может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y = имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует (рис. 9).

Рис. 9

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f’(x₀) = 0 или не существует и при переходе x через точку x₀ производная f '(x) изменяет знак, то точка x₀ является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

с + на –, то x₀ – точка максимума,

с – на +, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x₀изменяет знак с

+ на – , т.е. f '(x) > 0 при x Î (x₀– d; x₀) и f '(x) < 0 при x Î (x₀; x₀+ d), где d > 0 (рис. 10).

1) Пусть x Î (x₀– d; x₀). На отрезке [x; x₀] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x₀) найдётся хотя бы одна точка c₁, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x₀) = f '(c₁)×(x – x₀),

где c₁Î (x₀– d; x₀).

Так как f '(c₁) > 0 и x – x₀< 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

2) Пусть . На отрезке функция также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x₀; x) найдётся хотя бы одна точка с₂, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x₀) = f’(c₂)×(x – x₀),

где c₂Î (x₀; x₀+ d).

Так как f '(c₂) < 0 и x – x₀> 0, то f(x) – f(x₀) < 0.

Следовательно, для любого x Î (x₀– d; x₀+ d) выполняется неравенство: f(x₀) > f(x).

Отсюда следует, что точка x₀ является точкой максимума функции y = f(x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x₀изменяет знак с – на +. При этом точка x₀является точкой минимума функции .

Теорема доказана.

8.4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке (x; f(x)) при a < x < b.

Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a;b), называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f(x)).

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f ''(x) для x Î (a;b) сохраняет свой знак, тогда кривая y = f(x) выпуклая, если f ''(x) £ 0

при x Î (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f ''(x) ³ 0 при x Î (a;b).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда f ''(x) ³ 0 для x Î (a;b). Обозначим x₀любую точку промежутка (a;b). Построим касательную к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)): y_касат = f(x₀) + f '(x₀)∙(x – x₀). Покажем, что график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной,

т.е. выполняется неравенство: (f(x) – y_касат(x)) ³ 0 для любого x Î (a;b) (рис.11).

f(x) – y_касат(x) = f(x) – (f(x₀) + f '(x₀)∙(x – x₀)) =

= f(x) – f(x₀) – f '(x₀)∙(x – x₀) = (f(x) – f(x₀)) – f '(x₀)∙(x – x₀), (1)

где x Î (a;b) .

Функция y = f(x) на отрезке [x₀;x] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на отрезке [x₀;x] найдётся хотя бы одна точка c₁, для которой

выполняется равенство:

f (x) – f(x₀) = f '(c₁)∙(x – x₀).

Подставим в равенство (1) полученное соотношение.

f(x) – y_касат(x) = f '(c₁)(x– x₀) – f ' (x₀)(x – x₀) = (x – x₀)×(f ' (c₁) – f ' (x₀)). (2)

Функция f '(x) на отрезке [x₀;c₁] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на промежутке (x₀;c₁) найдётся хотя бы одна точка с₂, для которой выполняется равенство:

f '(c₁) – f '(x₀) = f ''(c₂)(c₁– x₀).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

f(x) – y_касат(x) = (x – x₀)×f ''(c₂)∙(c₁– x₀). (3)

Если x > x₀, то c₁ > x₀ и c₂ > x₀, т.е. x – x₀ > 0 и с₁– x₀> 0.

По предположению f ''(x) ³ 0. Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Если x < x₀, то c₁< x₀ и c₂ < x₀, т.е. x – x₀ < 0 и c₁– x₀ < 0. Тогда f(x) – y_касат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a;b) выполняется неравенство:

f(x) – y_касат(x) ³ 0,

т.е. на промежутке (a,b) график функции y = f(x) вогнутый.

Аналогично можно доказать, что если f ''(x) £ 0 при любом x Î (a;b), то кривая y = f(x) на промежутке (a;b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

Определение 9. Пусть в точке (x₀; f(x₀)) существует касательная. Тогда точка (x₀; f(x₀)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой (или наоборот) называется точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x_0, вторая производная функции f ''(x₀) = 0 (или не существует) и f ''(x) меняет свой знак при переходе x через точку x₀, то точка (x₀; f(x₀)) – точка перегиба кривой y = f(x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ''(x) при переходе через точку x₀ изменяет знак с + на –.

Тогда в левой полуокрестности точки x₀f ''(x) > 0, т. е. кривая при x < x₀ вогнутая, а в правой полуокрестности точки x₀ f ''(x) < 0, т. е. кривая при x > x₀ выпуклая.

Следовательно, точка (x₀; f(x₀)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f ''(x) при переходе

через точку x₀ изменяет знак с – на +.

Теорема доказана.

8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается (), если для любого x Î [a;b] выполняется неравенство:

f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда

8.6. Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить, выполняются ли равенства:

f(– x) = f(x) для любого xÎ D(f) – чётность

или

f(– x) = – f(x) для любого xÎ D(f) – нечётность.

Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – чётная или относительно начала координат – нечётная.

4) Найти точки пересечения графика функциис осями координат:

· с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0 Î D(f),

· с осью Oх: точка (x_k; 0), где x_kÎ D(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва.

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты..

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции.

9) Найти множество E(f) значений функции.

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e^–^x и построить её график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.