7.1. Производные высших порядков
Пусть функция , определённая на интервале
, имеет в каждой точке
производную
и пусть
. Если при x
= x0 у производной
функции
существует
производная, то она называется второй
производной (или производной второго
порядка) функции f и обозначается
или
.
Таким образом, . Аналогично определяется производная
любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная
порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка
подразумевается сама функция
, а под производной первого порядка –
), то, по определению,
.
Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x0 можно
записать в виде предела:
Отметим, из предположения, что
функция f имеет в точке x0
производную порядка n, отсюда следует,
в силу определения последней, что в некоторой
окрестности точки x0 у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n >
1 и все производные более низкого порядка k <
n–1, в частности, сама функция определена в некоторой
окрестности точки x0. При
этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во
всех её точках они имеют производную.
Функция называется n раз непрерывно
дифференцируемой на некотором промежутке,
если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до
порядка n включительно (n =
1, 2, ...).
Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором
промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.
Теорема. Пусть
функции и
имеют производные n-го порядка в точке x0; тогда
функции
и
имеют производные n-го порядка в точке x0, причём
,
. (1)
Здесь,
как обычно, – число сочетаний из n элементов по k.
Формулу (1) обычно называют формулой Лейбница.
Теорема.
Пусть функция , определённая на интервале
, имеет в точке
производные до порядка
n включительно. Тогда при x®x0
или .
Эта формула называется формулой
Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.
Многочлен
называется многочленом Тейлора степени n, а функция
– остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.
Если в формуле Тейлора положить x0 = 0, то
получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена:
.
Теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям
этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до
бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким
многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при
этом остаточным членом.
Замечание. Можно
показать, что если функция в некоторой окрестности
точки x0 имеет производную порядка n, то, какова бы ни была точка x этой окрестности, найдётся такая точка x, лежащая между x0 и x, что для остаточного члена
формулы Тейлора
функции
имеет место формула
(форма Лагранжа),
(форма Коши).