Тема 6. Теоремы о среднем дифференциального исчисления

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых x Î [a;b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: f(х₀) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х₀Î (a;b), в которой выполняется равенство: f(х₀) = 0.

6.1. Теорема Ролля

Теорема . Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х₀,в которой выполняется равенство:

f '(х₀) = 0.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

m = M и m < M.

· Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a;b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a;b].

· Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х₀Î (a;b). Тогда в точке х₀для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х₀+ Dx) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и Dx такое, что х₀+ D x Î [a;b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х_{0 ;} f (х₀)), где х₀Î (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

6.2. Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

f ' (х₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l×x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l×a и F(b) = f(b) + l×b, то получим равенство:

f(a) + l×a = f(b) + l×b.

Отсюда выразим значение l:

l = – .

При этом значении l функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:

· F(x) дифференцируема на интервале (a;b)

· F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x):

F '(x) = f '(x) – .

Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) –= 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х₀; f(х₀), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8)

6.3. Теорема Коши

Теорема. Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции

F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

6.4. Правило Лопиталя

Теорема. Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел: