Тема 2. Числовые последовательности

2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

2.4. Критерий Коши о сходимости последовательности

Последовательность. Предел последовательности

Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность. Соответствующий натуральному числу n элемент множества X обозначается через x_n и называется n-м членом последовательности. Сама эта последовательность обозначается через {x_n} или x_n, n = 1, 2, ...

Постоянное число a называется пределом последовательности x_n, если для любого e>0 существует такой номер N(e), что все значения x_n, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству .

Если выполняется это условие, то пишут или x_n®a при n®¥ и говорят, что члены последовательности {x_n} стремятся к a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a=0, то неравенство примет вид .

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»: последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа e > 0, начиная с некоторого номера.

Можно показать, что, если последовательность x_n®a, то она может быть представлена в виде , где a_n есть бесконечно малая, и обратно, если последовательность x_n допускает такое определение, то она имеет пределом a. Это следует из того, что .

Этим свойством часто пользуются на практике для установления предела последовательности.

Последовательность x_n называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остаётся большей сколь угодно большого наперёд заданного числа Е > 0, начиная с некоторого номера: .

Примеры. Бесконечно большими являются следующие последовательности: .

Если последовательность x_n является бесконечно большой и, начиная с некоторого n, сохраняет определённый знак (+ или-), то в соответствии со знаком говорят, что последовательность x_n имеет предел +¥ или –¥, и пишут:

Очевидно, что бесконечно большая величина x_n в общем случае характеризуется соотношением: |x_n|®+¥.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема 2. Если для двух последовательностей x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n³ y_n, причём каждая из них имеет конечный предел: x_n® a, y_n® b, то a ³ b.

Теорема 3. Если для последовательностей x_n, y_n, z_n всегда выполняются неравенства x_n£y_n£z_n, причём , тогда .

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной последовательности x_n на бесконечно малую a_n величину есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причём .

Теорема 5. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Теорема 6. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём .

Предел монотонной ограниченной последовательности

Последовательность x_n называется возрастающей (неубывающей), если .

Последовательность x_n называется убывающей (невозрастающей), если .

В первом случае говорят, что последовательность «монотонно возрастает», во втором – что она «монотонно убывает». В целом последовательности такого вида называют монотонными.

Теорема (Вейерштрасс). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность x_n. Если она ограничена сверху: , то имеет конечный предел, в противном случае – стремится к +¥.

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая последовательность x_n. Её предел конечен, если она ограничена снизу: , в противном же случае её пределом служит –¥.

Критерий сходимости Коши

Назовём последовательность фундаментальной (сходящейся в себе, последовательностью Коши), если для каждого числа e > 0 существует такой номер N, что неравенство выполняется для всех n₁>N, n₂>N.

Теорема (критерий сходимости Коши). Для того чтобы последовательность x_n имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.