В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Пишут AÌB или BÉA и говорят, что множество A включено во множество B или B включает A.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают это так: A=B.

Включение AÌB не исключает равенства этих множеств. Если же AÌB, но A¹B и A¹Æ, то A называют собственным подмножеством множества B.

Если множество A включено во множество B или совпадает с ним, то пишут AÍB или BÊA.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Если заданы два множества A и B, то через AÈB обозначается множество, называемое их объединением или суммой и состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, если некоторый элемент принадлежит множеству AÈB, то он принадлежит либо только множеству A, либо только множеству B, либо обоим этим множествам одновременно.

Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.

Через A∩B обозначается множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат как множеству A, так и множеству B. Множество A∩B называется пересечением множеств A и B. Если A и B не имеют общих элементов (в частности, одно из них или оба пусты), то полагают A∩B=Æ. В этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Отметим, что пустое множество совпадает само с собой: Æ=Æ, но вместе с тем оно не пересекается само с собой: Æ∩Æ=Æ.

Через обозначается множество, называемое разностью множеств A и B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Говорят также, что получается из множества A вычитанием из него множества B.

Если BÌA, то разность называется дополнением множества B до множества A. По определению, полагается .

Логические символы

В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности.

Кроме того, в математических доказательствах часто используют символ Þ, который означает «следует» (одно высказывание следует из другого), и символ Û, который означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.

2. Понятие функции

Пусть даны два множества и . Если каждому элементу по некоторому закону или правилу соответствует определенный элемент , то это соответствие называется однозначной функцией или отображением множества в множество . Множество называется областью определения или существования этой функции. Функция обозначается , или . Переменная называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная называется зависимой переменной или функцией.

Если элемент соответствует элементу при отображении , то называется образом , а – прообразом .

Множество всех образов при отображении называется множеством значений этой функции или областью изменения функции.

Способы задания функции

1) Аналитический способ - указывается формула, которая служит законом соответствия и связывает зависимую и независимую переменные: . Например, .

2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

3. Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g)D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому yE(f) соответствует единственное значение xD(f), при котором верно равенство y = f(x).

Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.

(линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.

y =(степенная функция), α ÎR, E(y), D(y) зависят от α.

y = (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).

y =(логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.

Тригонометрические функции:

y = sin x, D(y) = R, E(y) =.

y = cos x, D(y) = R, E(y) =.

y = tg x, D(y) = , E(y) = R.

y = ctg x, D(y) = , E(y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, D(y) = , E(y) = .

y = arccos x, D(y) = , E(y) = .

y = arctg x, D(y) = R, E(y) = .

y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = .

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Содержание

Тема 2. Действительные числа и их последовательности

Множеством натуральных чисел называются числа, используемые при счете и обозначается . Множество всех натуральных чисел, ноль и числа, противоположные натуральным, образуют множество целых чисел: .

Рациональным числом называют число, представимое в виде отношения некоторого целого числа к некоторому натуральному числу. Множество всех рациональных чисел обозначается через . Следовательно,

Хотя рациональных чисел бесконечно много, их не хватает для измерения длин, площадей, объемов и т.д.

Измерить длину отрезка означает сравнить его с другим отрезком. Оказывается, если взять два произвольных отрезка с длинами и , то не всегда с помощью одного можно найти длину другого, если ограничиться только множеством рациональных чисел. Таковыми являются, например, сторона и диагональ квадрата. Если взять в качестве масштабной единицы какой-нибудь отрезок, сторону и диагональ нельзя выразить с помощью рациональных чисел. Следовательно, для измерения величин (длины, площади т.д.) нужно расширить множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число можно представить в виде некоторой бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого достаточно числитель разделить на знаменатель в столбик.

Аналогично каждую бесконечную десятичную дробь можно обратить в обыкновенную дробь. Поэтому рациональное число можно определить следующим образом: рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «-».

Легко привести примеры десятичных дробей, которые не являются периодическими. Таковой является, например, дробь 0,1010010001… Число 1 не является периодом, так как как угодно далеко в записи этой дроби встречаются нули. Аналогично ноль не является периодом. Следовательно, существуют непериодические десятичные дроби, они называются иррациональными числами. Множество иррациональных чисел обозначается Оказывается, если объединить все периодические и непериодические десятичные дроби, то задача измерения величин полностью решается.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Обозначается .

Последовательность. Предел последовательности

Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность. Соответствующий натуральному числу n элемент множества X обозначается через x_n и называется n-м членом последовательности. Сама эта последовательность обозначается через {x_n} или x_n, n = 1, 2, ...

Постоянное число a называется пределом последовательности x_n, если для любого e>0 существует такой номер N(e), что все значения x_n, у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству .

Если выполняется это условие, то пишут или x_n®a при n®¥ и говорят, что члены последовательности {x_n} стремятся к a. Сама последовательность в этом случае называется сходящейся.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Если в определении предела последовательности положить a=0, то неравенство примет вид .

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»: последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа e > 0, начиная с некоторого номера.

Можно показать, что, если последовательность x_n®a, то она может быть представлена в виде , где a_n есть бесконечно малая, и обратно, если последовательность x_n допускает такое определение, то она имеет пределом a. Это следует из того, что .

Этим свойством часто пользуются на практике для установления предела последовательности.

Последовательность x_n называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остаётся большей сколь угодно большого наперёд заданного числа Е > 0, начиная с некоторого номера: .

Примеры. Бесконечно большими являются следующие последовательности: .

Если последовательность x_n является бесконечно большой и, начиная с некоторого n, сохраняет определённый знак (+ или-), то в соответствии со знаком говорят, что последовательность x_n имеет предел +¥ или –¥, и пишут:

Очевидно, что бесконечно большая величина x_n в общем случае характеризуется соотношением: |x_n|®+¥.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Теорема 2. Если для двух последовательностей x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n³ y_n, причём каждая из них имеет конечный предел: x_n® a, y_n® b, то a ³ b.

Теорема 3. Если для последовательностей x_n, y_n, z_n всегда выполняются неравенства x_n£y_n£z_n, причём , тогда .

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть также величина бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной последовательности x_n на бесконечно малую a_n величину есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причём .

Теорема 5. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .

Теорема 6. Если последовательности x_n, y_n имеют конечные пределы: , b ¹ 0, то их отношение также имеет конечный предел, причём .

Предел монотонной ограниченной последовательности

Последовательность x_n называется возрастающей (неубывающей), если .

Последовательность x_n называется убывающей (невозрастающей), если .

В первом случае говорят, что последовательность «монотонно возрастает», во втором – что она «монотонно убывает». В целом последовательности такого вида называют монотонными.

Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Пусть дана монотонно возрастающая последовательность x_n. Если она ограничена сверху: , то имеет конечный предел, в противном случае – стремится к +¥.

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая последовательность x_n. Её предел конечен, если она ограничена снизу: , в противном же случае её пределом служит –¥.

Критерий сходимости Коши

Назовём последовательность фундаментальной (сходящейся в себе, последовательностью Коши), если для каждого числа e > 0 существует такой номер N, что неравенство выполняется для всех n₁>N, n₂>N.

Теорема (критерий сходимости Коши). Для того чтобы последовательность x_n имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Содержание

Тема 3. Теория пределов

1. Предел функции в конечной точке x₀

Определение 1. Окрестностью точки x₀ называется любой интервал, содержащий точку x₀:

Определение 2. d-Окрестностью точки x₀ называется интервал (; ), длина которого 2d, симметричный относительно x₀:

Определение 3. Проколотой d-окрестностью точки x₀ называется d-окрестность точки x₀ без самой точки x₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x ® x₀, если для любого малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x₀, т.е. , выполняется неравенство: .

Итак: и .

2. Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдётся другое малое число – такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, т.е. , справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

– для правого предела.

– для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x₀, предел равный А, то существуюти и справедливо равенство: .

Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f(x) имеет предел, равный числу: .

Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x₀ функция f(x) не имеет предела.

3. Предел функции на бесконечности

Определение 6. Окрестностью бесконечно удалённой точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству , где N достаточно большое положительное число.

Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа ε > 0 существует другое большое число – такое, что для любого удовлетворяющего неравенству выполняется неравенство . Этот факт записывают: .

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ® x₀ или в точке , если предел a(x) при x® равен нулю: .

Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x ® x₀ равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ = δ(M) > 0 такое, что для любого удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство |f(x)| > M.

Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве X Ì D(f), если существует такое число M > 0, что для любого x Î X выполняется неравенство |f(x)| < M.

Основные свойства бесконечно малых функций

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в этой точке , т.е. если – бесконечно малые функции в точке , то – бесконечно малая функция в этой точке .

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке , т.е. если – бесконечно малые функции в точке , то – бесконечно малая функция в этой точке .

3) Произведение бесконечно малой функции в точке на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая функция в точке, т. е. если α(x) бесконечно малая функция в точке и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)×f(x) – бесконечно малая функция в точке.

Следствие из свойства 3). Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию α(x) в точке есть бесконечно малая функция в точке, т.е. если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x) – бесконечно малая функция в точке x₀.

Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке x₀ и бесконечно большой функцией в точке x₀)

Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция является бесконечно малой в точке . (Верно и обратное утверждение)

5. Основные теоремы о конечных пределах

Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .

Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке.

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует конечный предел суммы этих функций в точке , равный сумме пределов этих функций.

Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке x₀. Пусть , тогда по теореме 1g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке x₀. Рассмотрим сумму этих функций:

f(x) + g(x) = A + a(x) + B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x).

Обозначим γ(x) = a(x) + β(x) – бесконечно малая функция в точке x₀ (по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x) + g(x)=A + B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке , то существует предел произведения этих функций в точке, равный произведению пределов этих функций.

Доказательство: Пусть, тогда по теореме 1: f(x) = А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке . Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке . Рассмотрим произведение этих функций:

f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = A×B + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x).

Обозначим: B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x) = γ(x), где γ(x) – бесконечно малая функция в точке (по свойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x).

По теореме 1: .

Теорема доказана.

Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причём , то существует предел частного этих функций в точке , равный частному пределов этих функций, т. е.: если существует и существует , B ≠ 0, то существует

(доказать самостоятельно).

Теорема 5 (о пределе трёх функций). Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке: и при стремлении x к x₀ выполняется неравенство: φ(x) , то существует φ(x), равный А.

6. Первый замечательный предел

Теорема 6. Предел функции в точке существует и равен 1, т.е..

Доказательство:

1) Пусть угол x > 0 (x ). Площади соотносятся: . Имеем ; ; , где угол х в радианах.

Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей: , , .

Так как все части двойного неравенства положительные, выражение можно переписать так: . Так как то по теореме 5: .

2) Пусть x < 0 (x ). Тогда (по доказанному в первом случае). Следовательно, .

Теорема доказана.

7. Второй замечательный предел

Теорема 7. Предел функции при xсуществует и равен числу e, т.е. .

Замечание. Число e является пределом последовательности, причем это число иррациональное, т.е. представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: e = 2,7182818284590… . Более того, число e трансцендентное, т.е. не является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В математическом анализе это число играет особую роль, в частности, является основанием натурального логарифма. Показательная функция с основанием e: , называется экспонентой.

Модификация второго замечательного предела т.е. .

Содержание

Тема 4. Непрерывные функции

1. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x₀и предел f(x) в точке x₀равен значению функции в этой точке, т.е. .

Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:

т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. .

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке, причём они равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x_0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x₀и функция y = f(u) непрерывна в точке u₀= u(x₀), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x₀.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

2. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x₀называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение 6. Точка x₀называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x₀либо не определена, либо имеет значение f(x₀), не совпадающее с найденным пределом: f(x₀– 0) = f(x₀+ 0) ¹ f(x₀).

Определение 7. Точка x₀называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е. f(x₀– 0) ¹ f(x₀+ 0).

Определение 8. Точка x₀называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

Решение. На промежутке (–∞; –1) , на промежутке (–1;1) и на промежутке (1;+∞) .

На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = –1 и x = 1.

Получили, что f(–1–0) ¹ f(–1+0) => x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞;–1) и на (–1;+∞), точка x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

2. f(x) =

Решение. На промежутках (–∞;0) и на (0;+∞) функция f(x) непрерывна. Исследуем точку x = 0 Ï D(f).

2) x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.

Содержание

Модуль 2

Тема 5. Производная и дифференциал функции одной переменной

1. Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение. Dy= f(x+ Dx) – f(x) = .

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения: .

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел при Dt ® 0: V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t : .

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М₀(рис. 5).

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика . Точка M(x₀+Dx; y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx ® 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M₀MA: tg j = , j – угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0: j = , где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x₀) = tg частное значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; y(x₀)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас= y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀; f(x₀)): y = f(x₀) + f ' (x₀) × (x – x₀).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)): y = f(x₀) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

Вывод: ;

2) . Вывод: ;

3) . Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4) . Вывод: так как ln x = log _ex, то, используя производную, для (log _ax), можно записать:

5) (c)' = 0. Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' = 0

2. (x^a)' = a×x^a^–
1

3. (a^x)' = a^x×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_ax)' = , (a > 0; a ≠ 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = – sin x

9. (tg x)' =

10. (ctg x)' = –

11. (arcsin x)' =

12. (arccos x)' = –

13. (arctg x)' =

14. (arcctg x)' =

4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х. Доказать: A = f '(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению Dy = A × Dx + (Dx) × Dx, где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Разделим это равенство на Dx ≠ 0: . Перейдём к пределу при Dx ® 0: существует, а значит f '(x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует. Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать: , где (Dx) ® 0 при D x® 0. Умножим это равенство на Dx: Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде: Dy = A × Dx + (Dx) × Dx, где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

5. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0: так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле: (U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV – U×V=

= U×DV + V×DU + DU×DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Следовательно, (U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции: (C×U(x))' = C×U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0: ,

Значит, .

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле: (f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде: , где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е. (f(u(x)))' = f ' (u) ×u' (x).

Теорема доказана.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V⁽^x⁾ дифференцируема в точке x и справедлива формула:

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y = (U(x))^V⁽^x⁾ по основанию логарифма e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

6. Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y = arcsin x дифференцируема при любом xÎ(–1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsin x определена при x Î[–1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области её определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsin x. Найдём производную от обеих частей уравнения: .

Выразим из полученного равенства y': .

Но при . Поэтому , так как . Следовательно, получаем: .

Аналогично, функция y = arсcos x дифференцируема при x Î(–1;1) и справедлива формула: .

Функция y = arctg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

Функция y = arcсtg x дифференцируема при x Î(–¥;+¥) и справедлива формула: .

7. Дифференциал функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x, тогда её приращение можно записать в виде двух слагаемых, первое из которых линейно относительно Dx, а второе слагаемое – бесконечно малая величина при Dx ® 0 (более высокого порядка малости по сравнению с Dx): , где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Определение 4. Слагаемое называется главной линейной относительно Dx частью приращения функции y = f(x), называемой дифференциалом этой функции. Дифференциал обозначается dy = y' (x)× Dx .

Если x – независимая переменная, то справедливо равенство Dx = dx, так как (x)' = 1. Тогда формула для дифференциала записывается: dy = y' (x)× dx .

Так как второе слагаемое приращения функция – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с Dx, то между приращением функции и её дифференциалом можно приближённо поставить знак равенства. Это равенство тем точнее, чем меньше Dx. На основе этого приближённого равенства получается приближённое представление значения дифференцируемой функции:

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой окрестности точки x₀ (рис. 6):

Рис. 6

Из DM₀AN

AN = M₀A×tg a = Dx×f '(x₀) = dy.

Итак: дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной (AN), проведённой к кривой y = f(x) в точке (x₀; f(x₀)), при переходе от x₀ к x₀+Dx (от точки М₀ в точку М).

Инвариантность формы дифференциала

Теорема 14. Пусть функция y = f(u) дифференцируема в точке u, а функция u = u(x) дифференцируема в соответствующей точке x (u = u(x)). Тогда для сложной функции y = f(u(x)) справедливо равенство: dy = f '(u)du = y'(x)dx.

Доказательство. Сложная функция y=f(u(x)) является дифференцируемой в точке x. Поэтому справедливо равенство: dy = y'(x)dx .

Но так как функция y(x) = f(u(x)) сложная, то y' (x) = f ' (u) × u' (x). Поэтому dy = y'(x)dx = f '(u)×u'(x)dx = f '(u)×du, так как по условию теоремы функция u = u(x) дифференцируема в точке x, следовательно, du = u' (x)×dx.

Теорема доказана.

8. Производные и дифференциалы высших порядков

Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором промежутке, то она имеет на этом промежутке производную y' = f ' (x), которая в свою очередь может иметь производную: (y')' = (f'(x))' = y'', называемую второй производной функции y = f(x). Она обозначается: .

Может случиться, что новая функция y''(x) имеет производную, тогда она называется третьей производной функции y = f(x) и обозначается: .

Производная “n”-го порядка функции y = f(x) обозначается: .

Дифференциалом второго порядка функции y = f(x) в точке x называется выражение, обозначаемое d²y и вычисляемое по формуле: , если x – независимая переменная.

Дифференциал третьего порядка функции y = f(x): ,

если x – независимая переменная, и т.д.

Замечание. Дифференциал уже второго порядка не обладает свойством инвариантности формы.

Содержание

Тема 6. Теремы о среднем дифференциального исчисления

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, т.е. для любых

x Î [a;b] выполняется неравенство: m ≤ f(x) ≤ M.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: f(х₀) = С.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х₀Î (a;b), в которой выполняется равенство: f(х₀) = 0.

1. Теорема Ролля

Теорема 4 (теорема Ролля). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b];

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b);

· f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка х₀,в которой выполняется равенство: f '(х₀) = 0.

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая: m = M и m < M.

· Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î [a;b]. Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х₀ можно рассматривать любое значение x Î [a;b].

· Если m < M, то исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определённости предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке х₀Î (a;b). Тогда в точке х₀для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(х₀+ Dx) – f(х_о) ≤ 0, так как f(х₀) = M – наибольшее значение f(x) на отрезке [a;b] и Dx такое, что х₀+ D x Î [a;b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то в точке х_о существует производная. Значит справедливы равенства: f ' (х₀ + 0) = f ' (х₀ – 0) = f ' (х₀) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения теорема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку с координатами (х_{0 ;} f (х₀)), где х₀Î (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис. 7).

Рис. 7

2. Теорема Лагранжа

Теорема 5 (теорема Лагранжа). Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и выполнены следующие условия:

· f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

· f(x) дифференцируема на интервале (a;b),

то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: f ' (х₀) = .

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l×x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l×a и F(b) = f(b) + l×b, то получим равенство: f(a) + l×a = f(b) + l×b.

Отсюда выразим значение l: l = – . При этом значении l функция F(x) = f(x) – .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

· F(x) непрерывна на отрезке [a;b]:

· F(x) дифференцируема на интервале (a;b)

· F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на интервале (a;b) существует хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство:F '(х₀) = 0.

Найдём F '(x): F '(x) = f '(x) – . Поэтому F '(x₀) = f '(х₀) –= 0, если f '(х₀) = .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (х₀; f(х₀), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)) (рис. 8)

Рис. 8

3. Теорема Коши

Теорема 6 (теорема Коши). Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b];

· f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a;b);

· g '(x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдётся хотя бы одна точка х₀, в которой выполняется равенство: .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5 (теорема Лагранжа) при вспомогательной функции F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

4. Правило Лопиталя

Теорема 7 (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х₀ и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

· f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке за исключением может быть самой точки х₀;

· g '(x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

· или ,

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство: = .

Замечание 1. Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределённостей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределённость другого типа: 0×∞, , 1⁰, 0⁰ или ∞⁰, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределённость приводится к или и тогда можно применить правило Лопиталя.

Замечание 2. Если к условиям теоремы 7 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки х₀, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство: = =

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Содержание

Тема 7. Производные высших порядков. Формула Тейлора

1. Определение производных высших порядков

Пусть функция , определённая на интервале , имеет в каждой точке производную и пусть . Если при x = x₀ у производной функции существует производная, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции f и обозначается или .

Таким образом, . Аналогично определяется производная любого порядка n=1, 2, ...: если существует производная порядка n–1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция , а под производной первого порядка – ), то, по определению, .

Вспоминая определение производной, определение n-й производной в точке x₀ можно записать в виде предела:

Отметим, из предположения, что функция f имеет в точке x₀ производную порядка n, отсюда следует, в силу определения последней, что в некоторой окрестности точки x₀ у функции f существует производная порядка n–1, а, следовательно, при n > 1 и все производные более низкого порядка k < n–1, в частности, сама функция определена в некоторой окрестности точки x₀. При этом все производные, порядок которых меньше n–1, непрерывны в указанной окрестности, поскольку во всех её точках они имеют производную.

Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 1, 2, ...).

Для того чтобы функция была n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нём непрерывную производную порядка n.

2. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Как известно, её дифференциал , который называется также её первым дифференциалом, зависит от двух переменных: x и dx. Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции dy, рассматриваемой как функция только от x (т. е. при некотором фиксированном dx), имеет вид и называется вторым дифференциалом функции f в этой точке и обозначается через .

Подобным же образом в том случае, когда производная (n–1)-го порядка , дифференцируема в точке x₀ или, что эквивалентно, когда при x=x₀ существует производная n-го порядка , определяется дифференциал n-го порядка функции в точке x₀ как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка : , т. е. .

3. Формула Тейлора.

Теорема. Пусть функция , определённая на интервале , имеет в точке производные до порядка n включительно. Тогда при x®x₀ .

Эта формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен называется многочленом Тейлора степени n, а функция – остаточным членом n-го порядка формулы Тейлора.

Если в этой формуле положить x₀= 0, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой Маклорена: .

Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям этой теоремы, заменить в окрестности некоторой точки многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности определяется при этом остаточным членом.

Замечание. Можно показать, что если функция в некоторой окрестности точки x₀ имеет производную порядка n, то, какова бы ни была точка x этой окрестности, найдётся такая точка x, лежащая между x₀ и x, что для остаточного члена формулы Тейлора функции имеет место формула (форма Лагранжа), (форма Коши).

Тема 8. Исследование поведения функций с помощью производных

1. Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов или равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).