Лекция 7. Диэлектрическая проницаемость плазмы

 

Рассмотрим плазму, в которой движения ионов не существенны и, следовательно, в диэлектрической поляризации плазмы участвуют только электроны, то есть рассматриваем электронную плазму. Будем искать функцию распределения электронов для слабого поля в виде

,

Где  - не возмущенная полем стационарная, изотропная и пространственно однородная функция распределения, а  - ее изменение под влиянием поля. В кинетическом уравнении пренебрегаем членом второго порядка малости и получим

                                               .                  (1)

Отметим, что в изотропной плазме функция распределения зависит только от абсолютной величины импульса. В таком случае направление вектора  совпадает  с направлением  и его произведение с  обращается в нуль. Следовательно, в линейном приближении магнитное поле не влияет на функцию распределения и для  имеем уравнение

                                              .                              (2)

Функция  вместе с полем пропорциональна (предполагается) .

Тогда из уравнения (2) находим

        или

                                              .                                  (3)

Условие малости поля возникает из требования, чтобы  было мало по сравнению. Коэффициент при  в (3) есть амплитуда импульса, приобретенного электроном в поле . Эта амплитуда должна быть мала по сравнению с средним (определенным по распределению ) импульсом .

В невозмущенной плазме плотность зарядов электронов компенсируется в каждой точке зарядами ионов. Плотность же зарядов и плотность тока, возникающие в плазме при ее возмущении полем будут равны

                            ,   .                             (4)

Вместе с эти  величины пропорциональны    и согласно (*) их связь с диэлектрической поляризацией дается формулами (5), то есть

                                                        , ,                                  (*)

.                 (5)

Способ взятия интегралов в (4) требует уточнения в виду наличия функции  полюса при

                                                                 .                                           (6)

Чтобы придать интегралу смысл будем вместо строго гармонического () рассматривать поле, которое бесконечно медленно включается от времени . Такому описанию поля соответствует добавление   к его частоте бесконечно малой части, то есть замена  на   , где . Действительно, при этом будет  при  , а вызываемое множителем    неограниченное возрастание поля при  несущественно, так как в силу принципа причинности не может оказать влияния на явления, рассматриваемые при конечных временах  (между тем как с  поле оказалось бы большим в прошлом, что нарушило бы применимость линейного по полю приближения).

Таким образом, правило обхода полюсов (6) определяется заменой  и установлено впервые Ландау в 1946 г.

При интегрировании обхода (7) мы имеем дело с интегралами вида

.

 

В таком интеграле путь интегрирования в плоскости комплексной переменной  проходит под точкой ; при  это эквивалентно интегрированию вдоль вещественной оси с обходом полюса  по бесконечно малой полубесконечности снизу.

Вклад в интеграл  от этого обхода определяется полувычетом  подынтегрального  выражения, и в результате получим:

                           .                                    (8)

Где первый член в правой части есть интеграл в смысле главного значения. Эту формулу (8) можно символически записать в виде:

                                              ,                                 (9)

где символ  означает взятие главного значения.

Теперь вычислим продольную часть диэлектрической проницаемости плазмы. Для этого воспользуемся первым из соотношений (5), подставив в него  из (4) и (3)

                                              .                  (10)

Пусть поле  (вместе с ним и ) направлено вдоль , тогда   . Таким образом, мы приходим к следующей формуле для продольной проницаемости плазмы с произвольной стационарной функцией распределения  (индекс  опускаем)

                            .                  (11)

Выберем направление  в качестве оси .  В подынтегральном выражении в (11) от   и  зависит лишь . Поэтому формулу (11) можно переписать в другом виде, введя функцию распределения только по  . Тогда

                               .                           (12)

В изотропной плазме - четная функция .

Можно отметить здесь очень важный результат: диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величиной. Мнимая часть  (интеграл (12)) определяется формулой (8).