Лекция 6. Уравнения Власова

6.1. Кинетическое уравнение Власова

Приближение самосогласованного поля.

Рассмотрим систему частиц с кулоновским взаимодействием

. (1)

Система в целом электрически нейтральна. Характерной особенностью этого взаимодействия является то, что радиус его действия , приводит к тому, что каждая частица постоянно взаимодействует сразу со всеми частицами системы, то есть, время , фигурирующая как динамическая величина в теории, в отличие от случая нейтральных частиц, значительно меньше времени взаимодействия частиц друг с другом (временные столкновения) . И наоборот, все частицы действуют на данную, создавая в точке ее нахождения общее поле, индивидуальные вклады к которое от частицы 1 и какой-то еще частицы 2 пренебрежимо малы. По сравнению с вкладом от всех () частиц. Этот коллективный эффект связывают с понятием самосогласованного поля, описываемым формулами (или величинами), не чувствительными к нумерации частиц, причем индивидуальная корреляция частицы 1 с какой-то 2 на фоне ее взаимодействия с этим коллективным полем пренебрежимо мала.

С точки зрения статистических функций распределения, если представить парную корреляционную функцию в виде

, (1)

то концепция соответствующего значения самосогласованного поля будет означать, что вклады в физические характеристики системы, связанные с учетом индивидуальных корреляций пренебрежимо малы по сравнению с эффектами, обусловленными главным членом .

Отметим, что электростатическое взаимодействие экранируемо в принципе, причем величина радиуса экранировки оценивается в рамках равновесной теории и определяется формулой Дебая.

. (2)

Так как для реализации самосогласованного поля внутри сферы радиуса необходимо участие большого числа частиц, то среднее расстояние между ними должно удовлетворять неравенству

. (3)

Возведя его в третью степень и учитывая, что , получаем

Эта величина как параметр разложения фигурирует в цепочке уравнений Боголюбова, конкретизированной на случай систем с дальнодействием.

Возведя его в квадрат, получим

то есть, средняя кинетическая энергия частиц должна значительно превышать кулоновскую, в этом смысле система оказывается слабовозмущенной.

Далее необходимо полагать, что , то есть, плазма должна быть достаточно разреженной. Рассмотрим временной масштаб, характеризующий процесс образования самосогласованного поля. Для того чтобы частица участвовала в его создании, она должна находиться в сфере радиуса достаточное время по сравнению со средним временем ее свободного пробега

где - есть квадрат плазменной или Ленгмюровской частоты. Таким образом, соответствующие физическому смыслу приближения самосогласованного поля временные интервалы должны быть порядка или больше периода Ленгмюровских .

Таким образом, можно ограничиться основным членом в и подставим его в первое уравнение цепочки Боголюбова (которое становится замкнутой относительно функции ). Имеем в

, (4)

где величина

, (5)

имеет совершенно четкий физический смысл: так как представляет собой плотность числа частиц в окрестности точки , то является потенциалом того самосогласованного поля, которое создается всеми частицами (распределенными в пространстве в соответствии с плотностью к точке в момент времени ). Перенеся этот член в левую часть, получим

Это и есть кинетическое уравнение в приближении самосогласованного поля, полученное Власовым в 1939 г.

6.2. Линеаризованное уравнение Власова

Чтобы сохранить однокомпонентную структуру уравнения Власова, используем следующую модель: положительные ионы будем считать не только неподвижными и равномерно распределенными, но и равномерно размазанными (модель «желе»), и на фоне этого положительного заряда двигаются электроны, газ которых будет считаться невырожденным. Одночастичную функцию электронного газа представим в виде

, (1)

где - равновесная функция распределения (по - максвелловская, по - однородная). Плотность положительного заряда фона можно выразить через эту функцию

. (2)

Поэтому величина электростатического потенциального поля, создаваемого положительным фоном в точке , будет равна

, (3)

самосогласованный потенциал, создаваемый в этой точке другими электронами, имеет вид

. (4)

Вводя напряженность действующего на электрон статистического поля , можно написать

. (5)

Сократим на и учтем , а затем подействуем слева и справа операцией , учтем, что . Кроме того, известно нам чему равен потенциал точечного заряда, то есть уравнение

. (6)

При учете таких условий получим для одно из уравнение Максвелла

. (7)

Предположим теперь, что система слабонеравновесна и для любого и

. (8)

Тогда, производя линеаризацию уравнения Власова, сохраняя для градиента суммарного потенциала введенное выше обозначение (заметим, что и - одинакового порядка малости) и, переходя к переменной , получаем систему уравнений для и :

где , .