Лекция 1. Введение

1.2. Общая структура кинетического уравнения для одночастичной функции распределения

1.1. Предмет физическая кинетика

Этот предмет представляет собой заключительную часть дисциплины теоретической физики профессионального цикла бакалавриата физического факультета университетов.

Физическая кинетика – это, по существу, теория процессов в статистически неравновесных системах. Кинетические свойства вещества более тесно связаны с характером микроскопических взаимодействий в тех или иных физических объектах. В связи с этим в программу курса включаются вопросы, связанные с теорией газов, как наиболее простому объекту теории.

Кроме того, достаточное понимание уделено плазмы, не только ввиду физической возможности этого раздела кинетики, но и потому, что многие задачи кинетики плазмы могут быть решены до конца и дают хорошую иллюстрацию общих методов кинетической теории.

Можно отметить, что микроскопическая теория неравновесных систем является одним из самых сложных разделов теоретической и математической физики. В этой теории остается целый ряд до конца не выясненных вопросов и до конца полностью не доказанных положений.

История кинетической теории началась с того времени (более 100 лет назад), когда Людвиг Больцман написал свое знаменитое кинетическое уравнение. Это уравнение по сей день остается одним из самых сложных в математическом отношении уравнений кинетической теории. Вторым крупным шагом в становлении статистической физики, вообще, как науки, является формулировка Гиббсом равновесной статистической механики.

Третьим же этапом становления современной статистической механики является работы Боголюбова, которые подняли теорию на новый уровень, соединив высокую математическую технику проводимых исследований с последовательной физической идеологией.

1.2. Общая структура кинетического уравнения для одночастичной функции распределения

Рассмотрим однокомпонентную классическую систему частиц с парным взаимодействием друг с другом:

. (1)

Обозначим через - частичную функцию распределения, с помощью которой можно построить распределения по переменным только одной, двух и т.д. частиц.

Рассмотрим только первую из этих функций, определив ее так, чтобы она была нормирована на полное число частиц:

, (2)

В таком случае величина имеет смысл среднего числа частиц, находящихся в 6-мерном объеме , в момент времени .

с функцией связана локальная плотность числа частиц:

, (3)

А также средние величины типа:

(4)

Из которых отметим локальным величины средней скорости частиц , потока, потока энергии и локальную температуру , определяемые соотношениями:

, (5)

Таким образом, уже одночастичная функция распределения содержит достаточно важную информацию о системе и позволяет перейти к макроскопическому ее описанию.

Используем уравнение Лиувилля:

, (6)

и учтем, что

, (7)

Подействуем на каждое слагаемое в уравнении Лиувилля операцией и рассмотрим в его правой части слагаемые .

Очевидно, что все эти слагаемые обращаются в нуль.

Действительно, одним из интегралов второй суммы правой части

, (7’)

обращается в нуль в силу ограниченности нашей системы в координатном пространстве, а в первой сумме правой части имеется интеграл

, (8)

который также равен нулю, так как вероятность обнаружить частицу с бесконечным значением импульса равна нулю. Таким образом, после проведения свертки по переменным с индексами останется только слагаемое с .

Опустим на время часть гамильтониана , учитывающую взаимодействие частиц друг с другом тогда величина выносится за знак интеграла, и мы получаем:

, (9)

Откуда следует кинетическое уравнение для функции распределения газа частиц без всякого взаимодействия их друг с другом:

. (10)

Получили уравнение Лиувилля для системы, состоящей из одной частицы .

Но идеальных систем в природе не существует. В таких системах отсутствовал бы механизм, заставляющий их релаксировать к состоянию равновесия. Таким образом, опущенная в кинетическом уравнении для функции часть является принципиально важной.

Если ее восстановить (хотя бы условно), то структура этого уравнения приобретает вид:

, (11)

где - интеграл столкновений.