Учет инфляции в принятии финансовых решений

Инфляция характеризуется обесцениванием национальной валюты и общим повышением цен в стране. Рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовых операций и приведем некоторые расчеты.

Обозначим через Pα — сумму, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы P при отсутствии инфляции. Например, если платье стоило 1 тыс. рублей, а через год стоимость платья увеличилась до 1200 руб., то P = 1000; Pα = 1200. Очевидно, что Pα > P.

Разницу между величинами Pα и P обозначим ∆P, т.е. ∆P = Pα -P.

Относительная величина (Pα - P)/P называется темпом инфляции и обозначается через α:

α = (Pα - P)/P.

Отношение (Pα - P)/P, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции.

Величину Pα можно выразить через α следующим образом:

Pa = P· α + P = P(1 + α).

Pa/P = (1 + α).

Величину (1+α), показывающую, во сколько раз в среднем выросли цены (то есть во сколько раз Pα > P), называют индексом инфляции Iи.

Из определения индекса инфляции следует, что Iи = (1 + α).

Очевидно, что инфляция уменьшает реальную ставку процента. Пусть α — годовой уровень инфляции. Это значит, что через год сумма Pα1 будет больше суммы P в (1 + α) раз. Еще через год сумма Pα2 будет больше суммы Pα1 в (1 + α) раз, то есть больше суммы P в (1 + α)2 раз. Через n лет сумма Pαn вырастет по отношению к сумме P в (1 + α)n раз. Поэтому через n лет индекс инфляции Iи = (1 + α)n. Инфляционный рост суммы P при годовом уровне инфляции α есть то же самое, что и наращение суммы P по сложной годовой ставке процентов α.

Пример

Предположим, что цены каждый месяц растут на 2%. В таких случаях банки и финансовые компании принимают годовой уровень инфляции, равным 24% (2% • 12 мес.) и привлекают клиентов вкладывать средства, к примеру, под 25% годовых, гарантируя при этом сохранение средств клиента. Между тем если уровень инфляции составляет 2% в месяц, это значит, что за месяц цены вырастают в (1 + 0,02) = 1,02 раза, а за год - в 1,268 (1,0212) раза. Значит, годовой темп инфляции составляет: 1,268 - 1 = 0,268; т. е. годовой уровень инфляции достигает 26,8%. После такого расчета процентная ставка 25% годовых теряет свою инвестиционную привлекательность и может рассматриваться только как способ уменьшения потери от инфляции. Рассмотрим различные случаи задания уровня инфляции. Количество лет n в общем случае может быть не целым числом.

Если известен годовой уровень инфляции α, то за период в n лет индекс инфляции составит следующую величину:

Iи = (1 + α)na (1 + nbα),

где n = na + nb, na — целое число лет, nb — оставшаяся нецелая часть года.

Формула записана по аналогии со схемой сложных процентов.

В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции αm за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий n таких интервалов, индекс инфляции будет определяться по формуле

Iи = (1 + αm)m.

Формула записана по аналогии с формулой начисления сложных процентов с внутригодовыми начислениями.

Применим рассмотренные выше варианты начисления процентов в условиях инфляции.

Если в обычных условиях первоначальная (исходная) сумма P0 при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму P, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму Pα, что требует другой процентной ставки. Назовем эту ставку ставкой процентов, учитывающей инфляцию.

Введем следующие обозначения:

rα — ставка простого ссудного процента, учитывающая инфляцию;

dα — ставка простого учетного процента, учитывающая инфляцию;

rcα — ставка сложного ссудного процента, учитывающая инфляцию;

dcα — ставка сложного учетного процента, учитывающая инфляцию.

Зададим годовой уровень инфляции α и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда наращенная сумма P (без учета инфляции) через один год в соответствии с формулой наращения простыми ссудными процентами равна

P = P0⋅(1+i).

Наращенная сумма Pα (с учетом инфляции) через один год в соответствии с формулой наращения простыми ссудными процентами равна Pα = P(1 + iα).

Учитывая, что Pα = P ⋅(1+ α), запишем Pα = P0(1+i)⋅(1+α).

Составим уравнение эквивалентности

P0 ⋅ (1 + iα) = P0 ⋅ (1 + i) ⋅ (1 + α).

Из этого уравнения получаем выражение для величины iα:

iα =i+α+i⋅α.	(1)

Формула (1) называется формулой Фишера, в которой сумма

(α + i ⋅ α) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

Формула Фишера определяет значение годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Зная формулу Фишера, можно избежать одной распространенной ошибки, рассмотренной в примере ниже.

Пример

Часто для подсчета процентной ставки, учитывающей инфляцию, к величине номинальной ставки просто прибавляют величину темпа инфляции, т. е. если i=25%, α=15%, то за процентную ставку, учитывающую инфляцию, принимается сумма, определяемая следующим образом:

i = 25% + 15% = 40%.

Но нужно помнить, что еще существует произведение i ⋅ α, величина которого тем больше, чем больше i и α. В данном примере это произведение составляет: 0,15 ⋅ 0,25 = 0,0375 = 3,75%.

Если речь идет о миллионах рублей, то каждый процент — это сотни тысяч рублей, поэтому не следует пренебрегать даже таким небольшим процентом.

Рассмотрим различные случаи начисления процентов с учетом инфляции, при этом будем пользоваться значением индекса инфляции за весь период. Для простых ставок за п лет получим: Pa = Р (1 + п·iа).

В то же время должно выполняться равенство Pa = P(1+ ni)Iи.

Решая уравнение эквивалентности, получим

iа=[(1+пi)Iи-1]/п (2)

Для простых учетных ставок получаем

da=(Iи-1+nd)/(nIи) (3)

Для случая сложных процентов

(4)

Если начисление процентов происходит m раз в году:

(5)

Формулы для вычисления сложных учетных ставок:

1)	учитывающих инфляцию, если начисление процентов происходит один раз в год:

2)	учитывающих инфляцию, если начисление процентов происходит m раз в год:

Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы обычная процентная ставка и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовывать и получать выражения для любых величин. Например, из формулы (2) можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процентов, учитывающая инфляцию:

r= (п-rαα + 1-Iи)/п-1и.	(8)

Из формулы (4) получаем аналогичную формулу для случая сложных процентов

rс = (1 + rса)/-1.	(9)

Подставляя в полученную формулу вместо Iи величину (1 + rа)п , получим:

rс = (1 + rсα)/(1+α)-1.	(10)

Формула (10) имеет следующий экономический смысл:

если rcα = α, т. е. доходность и уровень инфляции равны, то rc = 0 => наращения не происходит и доход поглощается инфляцией;

если rcα < α, то rc < 0 => операция приносит убытки;

если rcα > α, то rc > 0 => происходит реальный рост вложенного капитала.

Задача.

На сумму 50 тыс. руб. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 4% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 1,5%, 1,2% и 1%. Найти наращенную сумму с учетом инфляции и величину процентной ставки, обеспечивающей такой же доход в условиях инфляции.