Лекция № 4. Диаграммное представление различных функций.

Правила построения диаграмм Фейнмана. Мы отмечали выше, что матрицу рассеяния можно представить в виде суммы интегралов от нормальных произведений операторов полей, идентичных по структуре и соответствующих различным процессам рассеяния частиц. Каждый такой процесс рассеяния или такое нормальное произведение можно изобразить графически. Этот метод диаграмм Фейнмана широко используется в современной квантовой теории систем многих частиц и квантовой теории поля. Здесь громоздкие аналитические выражения заменяются простыми рисунками. Другими словами, диаграммы Фейнмана – это топологические представления алгебраических выражений. Достоинством этих диаграмм является их наглядность. С их помощью легко удается разобраться в сложных задачах, которые при аналитическом подходе кажутся неразрешимыми.

Ниже приведем правила соответствия между множителями в членах разложения S-матрицы и символами на диаграмме в четырехмерном пространстве .

Четырехмерным вектором , по которому производится интегрирование в матрице S_n сопоставляются соответственно и точек диаграммы (которые называются вершинами или узлами диаграммы), а оператором полей – линии, проходящие через эти точки. Линии, начинающиеся и заканчивающиеся в пределах диаграмм, называются внутренними, а линии со свободным концом, уходящие за пределы, – внешними. Диаграммы, которые служат для изображения эффектов п-го приближения теории возмущений, называются диаграммами п-го порядка.

Ось времени на диаграмме направлена на странице снизу вверх. Поэтому линии частиц, соответствующие прямому движению во времени, направлены снизу вверх, а линии дырок, соответствующие обратному движению во времени, направлены сверху вниз. Горизонтальная ось на диаграмме представляет собой трехмерное пространство координат. Косые направления линий несущественны – важно лишь их временное направление. Горизонтальные соответствуют . Такое взаимодействие называется мгновенным.

Фермионные спаривания операторов или свертки, совпадающие с функциями Грина свободных Ферми-частиц, изображаются сплошными линиями (внутренними), соединяющими те вершины и , которые входят в качестве аргументов в одну функцию Грина ; бозонные линии и свертки – пунктирными (для фотонов) и волнистыми (для мезонов). Каждому неспаренному оператору ставится в соответствие внешняя линия, входящая или выходящая из вершины. Из структуры разложения S-матрицы видно, что внешние линии описывают частицы, реально поглощаемые и испускаемые в ходе данного процесса, а внутренние линии соответствуют виртуальным переходам. Точки, входящие в качестве аргументов в функцию , соединяются пунктирной линией. Направление линий на диаграмме указывается стрелкой. Считается, что линия, входящая в вершину, отвечает оператору (в результате рассеяния происходит уничтожение частицы или рождение дырки), а линия, выходящая из вершины, отвечает оператору (в результате рассеяния происходит рождение частицы или уничтожение дырки).

Рис. 1

Здесь линии диаграмм, соответствующие операторам или , направлены от пространственно-временной точки 1; линии, соответствующие операторам или направлены к точке 1. Линии рождения частиц или дырок, соответствующие операторам , расположены сверху от точки 1; линии уничтожения, соответствующие операторам – снизу от точки 1.

Все вершины диаграмм должны быть связаны направленными линиями либо с другими вершинами, либо с «внешними» точками всеми топологически различными (в Фейнмановском представлении) способами, соответствующими названным состояниям.

Из вида S_n в формуле (3.10) следует, что для одночастичных взаимодействий каждой пространственно-временной точке, то есть вершине диаграммы, соответствует одно и то же произведение полевых операторов: двухэлектронных операторов рождения и уничтожения и матричных элементов оператора возмущений. Таким образом, всем вершинам диаграммы отвечают входящие и выходящие линии одного и того же типа. Здесь через каждую вершину проходят две фермионные (входящая и выходящая) линии, вершина соответствует оператору взаимодействия.

Отметим также, что, так как взаимодействия , сохраняют полный импульс и спин частицы, отбрасываются все аномальные или не сохраняющие импульс диаграммы, в частности диаграммы содержащие электрон и дырку в одном и том же состоянии.

Диаграммы Фейнмана S-матрицы для взаимодействующих частиц. Рассмотрим диаграммы выражений, обусловленные двухчастичными взаимодействиями в первом порядке теории возмущений.

Классификация фейнмановских диаграмм. Вакуумная часть диаграммы – суммы всех замкнутых диаграмм может быть записана в виде

Здесь нет входящих и выходящих линий. Это дает S-вакуум, то есть матрицу, описывающую все эффекты флуктуаций поляризации, возбуждений виртуальных пар и т. д. в вакууме.

Лестничные диаграммы отвечают повторным актам взаимодействия между одними и теми же частицами до их окончательного удаления друг от друга.

Рассмотрим собственно энергетическую часть, т. е. любую диаграмму без внешних входящих и выходящих линий, которые можно вставлять в линии частицы или дырки, т. е. любую часть диаграммы, соединенную с остатком двумя G₀ или D_e линиями.

Примеры

Неприводимой собственно энергетической частью называют энергетическую часть, которую нельзя разбить на две несвязанные собственно энергетические части путем удаления линии частицы или дырки, то есть которую нельзя разбить на две части, соединенные только линией G₀.

Примеры

Рассмотрим диаграммное представление функции Грина.

Диаграммы для функции Грина, которые обусловлены двухчастичными взаимодействиями в нулевом и первом порядке теории возмущений, могут быть изображены, как показано на рис. 1 и 2. У этих линий в случае диаграмм нулевого порядка имеются концы (точки t₁ t₂).

Рис. 1.

Двухчастичную функцию Грина, которую обозначим двойной линией можно изобразить в виде суммы диаграмм:

Изображение точной функции Грина в виде суммы ряда диаграмм соответствует принципу суперпозиции, согласно которому полная амплитуда вероятности перехода представляет собой сумму всех физически различных амплитуд перехода.

Первая из диаграмм соответствует амплитуде перехода при условии, что рассматриваемая частица не взаимодействовала с частицами среды, то есть она соответствует амплитуде свободного движения G₀. Второй график изображает упругое рассеяние частицы на частицах среды. Четвертый график из этого (приведен подробно ниже) описывает процесс двукратного рассеяния, когда в промежуточном состоянии кроме рассматриваемой частицы имeются еще одна частица и дырка. Он описывает свободное движение до точки 3 (в момент времени t), затем в момент времени происходит неупругое столкновение, в результате которого рассматриваемая частица изменяет импульс от до и одновременно рождает (выбивает) пару «частица–дырка» соответственно с импульсами и в точке 4. Далее пара исчезает в точке 5 в момент времени и частица в загоняет частицу, находящуюся в обратно в дырочное состояние , а сама рассеивается в состоянии .

Контрольные задания к работе № 4

1. Нарисовать простейшие диаграммы рождения и уничтожения частицы и дырки.

2. Графическое изображение S-матрицы для одночастичных взаимодействий.

3. Нарисовать диаграммы для Комптоновского рассеяния и эффекта Черенкова.

4. Нарисовать диаграммы второго порядка для собственной энергии фермиона.

5. Нарисовать диаграммы второго порядка для собственной энергии бозона.