Лекция № 2. Метод функций Грина

 

Метод функций Грина является универсальным методом в современной квантовой теории многих частиц. Этот метод может быть использован при рассмотрении как равновесных, так и неравновесных процессов. Кроме того с его помощью можно получить приближенные решения конкретных задач.

Существует несколько типов функции Грина: одночастичные, двухчастичные, n-частичные, запаздывающие, опережающие, причинные, для нулевых температур, для конечных температур. Одночастичные и двухчастичные функции Грина содержат достаточную информацию о рассматриваемой системе.

Одночастичная и двухвременная запаздывающая функция Грина определяется так:

  .              (2.1)

Она представляет собой амплитуду плотности вероятности того, что если в момент времени  в системе с взаимодействием в основном состоянии добавлена частица в точке , то в момент времени  система будет находиться в своем основном состоянии с добавленной частицей в точке .

Здесь множитель i поставлен (так условились), а индекс «+» означает, что . Опережающие функции Грина  отличны от нуля при .

Функции Грина (ФГ) обозначают также индексами r и a, которые соответствуют английским словам retarded (запаздывающий) и advanced (опережающий).

Квадрат модуля амплитуды плотности вероятности  дает плотность вероятности перехода частицы из точки  в точку .

Но так как в системе тождественных частиц последние неразличимы, то в момент времени t2 будет наблюдаться необязательно та самая частица.

Запаздывающая функция Грина описывает уничтожение частицы в точке  в момент времени t1 и последующее рождение другой частицы в точке  в момент времени .

Запаздывающие и опережающие функции Грина являются причинными функциями, которые удовлетворяют принципу причинности, согласно которому изменение закона взаимодействия в какой-либо пространственно-временной области может оказывать влияние на эволюцию системы лишь в последующие моменты времени.

С помощью одночастичных функций Грина можно получить энергетический спектр и времена жизни квазичастиц.

Двухчастичная функция Грина  представляет собой амплитуду плотности вероятности того, что если одна частица была введена в систему момент времени  в точке , а вторая – в точке  в момент t2, то в более поздние моменты времени одна частица окажется в точке , а другая – в точке .

Здесь очевидно, что если одночастичная функция Грина описывает движение одной частицы, добавленной к рассматриваемой системе, то двухчастичная функция Грина описывает коррелированное движение двух частиц, добавленных к системе.

Кроме того, двухчастичная функция Грина появляется в квантовой теории, учитывающей взаимодействие между квазичастицами. Она позволяет определить энергию и времена жизни коллективных возбуждений системы, таких, как фононы, плазмоны, магноны, а также магнитную проницаемость, электросопротивление и другие неравновесные характеристики.

Существуют два способа вычислений функции Грина. Первый способ состоит в решении цепочки дифференциальных уравнений, которые удовлетворяют этой функции. Известно также, что одночастичные функции Грина подчиняются интегро-диффе­ренциальным уравнениям, содержащим неизвестные двухчастичные функции Грина, а уравнения для двухчастичных функций Грина входят в трехчастичные функции Грина. Следовательно, мы имеем «бесконечную иерархию» зацепляющихся нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Другой метод состоит в разложении функции Грина в бесконечный ряд теории возмущений и в приближенном вычислении суммы этого ряда.

Здесь неприменим обычный способ вычисления, то есть суммирование всех членов до второго и третьего порядка, так как ряд сходится очень медленно. Поэтому суммируют члены определенного типа во всех порядках вплоть до бесконечности, то есть производят частичное или выборочное суммирование. Такая техника носит название метода диаграмм Фейнмана.

Можно отметить, что функция Грина представляет собой довольно сложный математический объект. Но для свободной частицы ее упрощают, используя свойства симметрии физической системы. Инвариантность относительно трансляций в пространстве и во времени, которой обладают свободные частицы, означает, что функция Грина зависит только от относительных пространственно-временных координат и ее можно записать в виде:

.                            (2.2)

Но в случае наличия внешнего поля пространство становится неоднородным, и функцию Грина нельзя представить в виде (2.1). Обычно используют -пространство при применении функции Грина, и по определению  есть амплитуда плотности вероятности того, что если в основном состоянии системы с взаимодействием в момент времени t1 добавлена частица в состоянии , то в момент времени t2 система будет находиться в своем основном состоянии с добавленной частицей в состоянии . Здесь и – волновые функции, соответствующие первому и второму состояниям системы.

Мы имеем при

.                                      (2.3)

Для свободной частицы 

и тогда        

.                               (2.4)

Пусть в момент времени  волновая функция свободной частицы есть . Тогда .

В более позднее время согласно уравнению Шредингера   волновая функция имеет вид:

.                            (2.5)

Амплитуда плотности вероятности того, что частица в момент времени t2 находится в состоянии , равна компоненте  вдоль , то есть

.

Следовательно, по определению функции G+, невозмущенная функция Грина, которую обозначим индексом 0, будет иметь вид:

,     (2.6)

где

,      (2.7)

 – функция Хэвисайда.

Множитель  учитывает то, что по определению G+= 0 при .

Фурье-образ выражения (2.6)  имеет вид:

.

Отметим, что эта функция определена недостаточно хорошо из-за компоненты, осциллирующей на бесконечности.

Эту трудность обычно обходят, добавив к аргументу ɷ член , где – положительная бесконечно малая величина, причем .

Это обеспечивает сходимость интеграла, и можно получить следующее выражение для , то есть

.                       (2.8)

Функция Грина квазичастицы может быть определена аналогичным образом. Только здесь закон дисперсии энергии εk отличается от закона дисперсии энергии εk свободной частицы. Кроме того, в выражении для функции Грина появляется экспоненциально затухающий множитель, то есть

Здесь  – время жизни, конечность которого соответствует конечности времени жизни возбуждения, затухающего со скоростью .

Этой функции Грина соответствует Фурье-образ:

.                                      (2.9)

Функция Грина уравнения Шредингера. Покажем, что функция Грина  является функцией Грина одночастичного невозмущенного уравнения Шредингера, если мы имеем дифференциальное уравнения уравнение вида

,                                       (2.10)

где – линейный дифференциальный оператор, не зависящий явно от и t.

Тогда функция Грина G оператора левой части уравнения (2.10) удовлетворяет уравнению .

Уравнение Шредингера можно записать в виде

,

где  – оператор кинетической энергии ( ).

С учетом этого .

Это уравнение есть уравнение вида (2.10) с . Следовательно, функция Грина должна удовлетворять уравнению

.                   (2.11)

Очевидно, что функция Грина здесь представляет собой ядро интегрального уравнения. В случае, когда гамильтониан не зависит от времени функции Грина, есть функция только разности времен.

Подставляя в уравнение (2.11) преобразование Фурье

и учитывая, что , получим

.                       (2.12)

Полагая, что G0 – функция Грина свободной частицы (2.7)  и принимая во внимание при , то  и, воспользовавшись равенством , видим, что уравнение (2.12) выполняется. Это показывает, что  есть функция Грина невозмущенного уравнения Шредингера.

 

Контрольные задания к работе № 2

Рассмотреть следующие представления функций Грина в квантовой статистике.

1.      Функция Грина для дырок.

2.      Матричное представление функции Грина.

3.      Разложение функции Грина в ряд по степеням оператора возмущений.

4.      Координатное представление функции Грина.

5.      Одночастичная функция Грина в представлении вторичного квантования.

6.      Температурная функция Грина.

7.      Определить дисперсионные соотношения для функций Грина.

8.      Записать функцию Грина в представлении вторичного квантования.