Лекция № 1. Дырочно-частичный формализм. Формализм

чисел заполнения

Операторы вторичного квантования. Рассмотрим систему из N тождественных частиц, которые взаимодействуют друг с другом и с внешним полем.

Одночастичные волновые функции такой системы ψ удовлетворяют уравнению Шредингера (без учета взаимодействия частицы со всеми остальными)

, (1.1)

где , и – спиновая координата и спиновое квантовое число.

При уравнение (1.1) имеет решение

, , (1.2)

где – спиновая собственная функция.

При полный гамильтониан и уравнение Шредингера имеют вид:

, , (1.3)

где , .

Уравнение (1.3) имеет решение

, (1.4)

Состояние частицы в квантовой теории может быть определено волновой функцией, квадрат модуля которой дает нам вероятность нахождения частицы в данном состоянии. Но состояние частицы может быть определено также «кет» и «бра» векторами.

Используя формализм чисел заполнения, волновую функцию основного состояния рассматриваемой системы можно записать в виде:

. (1.5)

Состояние, описываемое функцией

без частиц, называется вакуумным.

Волновая функция возбужденного состояния системы из частицы и дырки можно записать в виде:

где индексы h и p означают дырку и частицу.

В дырочно-частичном формализме вакуумное состояние обладает нулевой энергией , от которой отсчитывается энергия возбуждения.

Операторы рождения и уничтожения для бозе-частиц определяются так:

(1.6)

Из соотношений (1.6) следует, что оператор при действии на вектор состояния, содержащего частиц на уровне с волновой функцией , переводит его в вектор состояния с п_ὶ + 1 частицами на том же уровне, оператор же уменьшает число заполнения уровня ὶ на единицу.

Рассмотрим действие операторов и для ферми-частиц

(1.7)

Здесь надо иметь в виду, что множитель означает, что оператор не может добавить одну частицу в уже занятом состоянии ψ_i.

Множитель означает, что оператор не может уничтожить частицу в состоянии i, если там нет частицы. , т. е. – число занятых состояний, предшествующих состоянию i.

Из соотношения (1.7) следует, что результат действия фермионных операторов и на волновую функцию в представлении вторичного квантования зависит не только от числа частиц в состоянии i, но и от числа заполнения всех предшествующих состояний.

Надо отметить, что любые векторы состояний могут быть построены с помощью операторов рождения из состояния вакуума.

(1.8)

Для бозонов в правой части этого выражения добавляется множитель .

Аналогично из любого состояния можно получить вакуумное состояние действием оператора уничтожения .

Волновую функцию основного состояния с точностью до знакового множителя можно определить выражением

(1.9)

где в произведении участвуют все состояния i с энергией (здесь – энергия Ферми).

Рассмотрим примеры действия фермионных операторов рождения и уничтожения.

Правила коммутации для операторов (фермионных) рождения и уничтожения будут следующими:

(1.10)

, (1.10а)

Эти соотношения можно легко показать с помощью определений (1.7).

Здесь показатель (–1) в степени в четвертой строчке появился из-за того, что слева от состояния «к» стало на одну частицу меньше. Складывая полученные выражения, получим правило (1.10а).

. (1.11)

Для бозе-частиц меняется знак в коммутационном соотношении, то есть . Действительно,

(1.12)

(1.13)

Вычитая из первого выражения второе, получим: или то есть коммутатор операторов уничтожения и рождения преобразовывает каждую базисную функцию в себя. Можно так же доказать и остальные коммутационные соотношения для операторов бозе-частиц.

Можно легко проверить, что волновые функции многочастичных состояний ортонормированы.

Запишем нормировочный интеграл в виде:

.

Из-за обратного порядка следования операторов в сопряженной волновой функции операторы рождения и уничтожения N-ной частицы стоят рядом. Переставляя их, получаем:

Условие нормировки здесь принимает вид:

Операторы числа частиц. Оператором числа частиц называется выражение , так как, в частности, для бозе-частиц

.

Из полученного выражения следует, что собственное значение оператора равно числу частиц n.

Оператор же полного числа частиц будет иметь вид:

(1.14)

Здесь суммирование производится по всем состояниям с энергией .

Осуществим действие оператора ферми-частиц на некоторый вектор состояний:

так как .

Получаем

. (1.15)

Собственные значения оператора числа частиц, принадлежащих состоянию, описываемому волновой функцией , есть число заполнения этого состояния. Следовательно, в представлении чисел заполнения все операторы числа частиц диагональны и волновая функция системы частиц является собственной функцией всех операторов

Из правил коммутации следует, что для ферми-частиц .

Действительно, раскрывая левую часть равенства и используя соотношение получаем , т. к.

Волновая функция основного состояния и оператор полного числа частиц удовлетворяют условию:

где N – общее число фермионов в системе в основном состоянии.

Полевые операторы. Кроме описания многочастичных систем, используя операторы рождения и уничтожения, можно дать другое описание в терминах операторов поля. Полевые операторы рождения и уничтожения в представлении чисел заполнения в координатном пространстве выражаются через операторы и равенствами:

(1.16)

где и – волновые функции уравнения Шредингера, т. е. собственные функции оператора Гамильтона в состоянии i.

которые определяют одночастичные состояния в представлении первичного квантования. – оператор, эрмитово-сопряженный с оператором .

Отметим, что замена волновой функции φ оператором приводит к тому, что при вторичном квантовании не только все механические величины заменяются квантовыми операторами (обычное квантование), но и сама волновая функция квантуется, т. е. заменяется на оператор. Таким образом, и становятся квантованными волновыми функциями.

Можно показать, что полевые операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

где верхний знак соответствует статистике Ферми–Дирака, а нижний – статистике Бозе–Эйнштейна.

Первое коммутационное соотношение следует из определения дельта-функции, то есть из выражения

Для того чтобы показать полноту базисного набора функцией , достаточно вычислить интеграл, то есть

. (1.17)

Интеграл в правой части этого равенства равен -тому коэффициенту в разложении функции по полной ортонормированной системе функции φ_ὶ. Вместо δ-символа Кронекера здесь появляется δ-функция Дирака, так как координата – непрерывная величина.

Умножим первое из соотношений (3.1) на , а второе – на и проинтегрируем по всему объему. Учитывая ортонормированность функцией , получим:

Полевые операторы очень удобны для записи гамильтониана и других операторов физических величин. В частности, оператор электронной плотности может быть записан в виде

как и в обычной квантовой механике.

Операторы в формализме вторичного квантования. Здесь мы будем выражать обычные операторы, действующие на волновую функцию в координатном представлении, через операторы рождения и уничтожения частиц, то есть в представлении вторичного квантования. Будем считать, что – оператор в прежних обозначениях, а – тот же оператор в формализме чисел заполнения. Тогда матричные элементы оператора вычисленные с помощью волновых функций в формализме чисел заполнения, должны быть такими же, как у оператора , «обложенного» детерминантом Фока–Слетера.

Ниже мы рассмотрим сначала одночастичный случай, когда этот детерминант сводится к функции .

(1.18)

Поставленному условию удовлетворяет выражение

, (1.19)

которое легко проверить.

(1.20)

Можно обобщить соотношение (4.2) на случай N-частиц.

Пусть задан оператор

(1.21)

который, в частности, соответствует потенциальной энергии во внешнем поле.

Такие операторы называются одночастичными, так как представляют собой сумму операторов, каждый из которых действует на одну частицу. В таком случае имеет место соотношение (1.19), а волновая функция определяется соотношением (1.18).

.

Получается, что в представлении чисел заполнения одночастичные операторы имеют вид, не зависящий от N.

Можно показать, что двухчастичные операторы

как, например, потенциал взаимодействия

, (1.22)

принимают вид:

, (1.23)

где

Двухчастичное взаимодействие, описываемое соотношением (1.23), имеет наглядную интерпретацию. Его можно принять за столкновение двух частиц, находящихся в m-м и n-м состояниях. После взаимодействия они переходят в e-l и k-е состояния. Такие результаты остаются в силе и для бозонов.

Контрольные задания и примеры к работе № 1

1. Для чего необходим формализм вторичного квантования и что он означает? Полевые операторы и их структура.

2. Показать, что .

3. Найти чему равно действие операторов , , .

4. Записать гамильтониан системы в представлении вторичного квантования.

5. Уравнение Шредингера в представлении вторичного квантования.

6. Показать, что , где – операторы умножения и рождения дырок.

7. Показать, что .