Лекция 9.

Теория атома водорода

9.1. Собственные значения энергии атома водорода.

9.2. Собственные функции атома водорода.

9.3. Спектр энергии атома водорода.

9.1.Собственные значения энергии атома водорода.

Одной из самых простых задач атомной механики является задача о движении электрона в кулоновском поле ядра [1]. Известно, что потенциальная энергия электрона в поле ядра будет равна

(9.1)

В первую очередь решим уравнение Шредингера для радиальной функции , чтобы найти квантовые уровни для рассматриваемого движения электрона.

Если подставим в уравнение

(9.2)

Выражение для , получаем

(9.2’)

Здесь этот случай соответствует притяжению, поэтому согласно общей теории движения в поле центральных сил мы будем искать дискретный спектр энергии для E < 0 и непрерывный при E > 0. Найдем этот дискретный спектр энергии для E < 0 и соответствующие волновые функции. Введем вместо r и E безразмерные величины:

(9.3)

где

Если подставим (9.3) в (9.2’) то в уравнении не будет содержаться атомных постоянных m₀, e, ћ. Получаем следующее уравнение

(9.4)

Ищем u в виде

(9.5)

где f (ρ) - новая искомая функция.

Подставляя u (ρ) в (9.4) найдем уравнение для функции f (ρ):

или

(9.6)

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по степеням ρ. Нам из теории известно, что конечное при r = 0 решение уравнения (9.2’) таково, что ряд по степеням r должен начинаться с члена r^l+1. Из (9.5) следует, что конечное в нуле решение (9.6) должно начинаться с ρ^l+1. Поэтому f (ρ) будем искать в виде ряда:

(9.7)

где a_ν пока неизвестные коэффициенты ряда.

Здесь ряд (9.7) должен быть таков, чтобы функция R (r), которую мы можем согласно (9.5) написать в виде не возрастала до бесконечности при ρ→∞. Чтобы найти коэффициенты a_ν подставим (9.7) в (9.6) и соберем члены с одинаковыми степенями ρ. Эта подстановка дает

(9.8)

Но для того, чтобы ряд (9.7) был решением уравнения (9.6) нужно тождественное удовлетворение (9.8) при всех значениях ρ от нуля до бесконечности. Это возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при каждой степени ρ равны нулю, т.е.

(9.9)

для всех ν.

Тогда получаем рекуррентное соотношение

(9.10)

Здесь первый коэффициент a₀ – произволен, то есть уравнение однородно. Придавая ему какое-либо значение, найдем из (9.10) a₁, по a₁ найдем a₂ и т.д. Вычисляя все значения a_ν, получим искомое решение в виде ряда по степеням ρ. Полученный ряд будет сходиться при всех значениях ρ, но при больших ρ растет так сильно, что при ρ→∞ будет стремиться к бесконечности. И конечное при всех ρ = 0 решение, не будет конечным, вообще говоря, при ρ= ∞. Решение будет конечным и при ρ= ∞, если ряд оборвать на каком-то члене. Тогда f (ρ) будет многочленом и R будет стремиться к нулю при ρ→∞. Такое решение будет собственной функцией уравнения, так как оно конечно во всем интервале от ρ = 0 до ρ= ∞ и однозначно.

Мы видим, что обрыв ряда на каком-нибудь члене, например, номера ν=n_r, может произойти лишь при определенном значении параметра уравнения α. Если, положить, что коэффициент еще не равен нулю, то чтобы следующий коэффициент обратился в нуль, необходимо выполнение условия

,

т.е.

(9.11)

При этом условии не только , но и все последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны . Таким образом, (9.11) есть необходимое и достаточное условие, чтобы решение f (ρ) обращалось в многочлен, а R (ρ) оставалась бы всюду конечной. Если положить

n=n_r+l+1 (9.12)

и подставить в (9.11) значение α, то получим

С учетом выражения E (см.формулу), мы получим, что конечные и однозначные решения R существуют лишь при следующих значениях энергии электрона

, (9.13)

где n принимает согласно (9.12) значения n = 1,2,3,…; n_r = 0,1,2,… .

Здесь число n определяет энергию электрона и называется главным квантовым числом.

Выражение (9.13) для квантовых уровней E_n электрона в кулоновском поле найдена впервые Бором на основе полуклассической квантовой теории. В квантовой механике значение n = 0 исключено само собой, так как l принимает значения 0,1,2,…, а n_r есть номер члена ряда (9.7) имеет наименьшее значение, равное 0.

9.2. Собственные функции атома водорода

Теперь рассмотрим вид собственных решений R (ρ). Для собственных решений , поэтому формула (9.10) упрощается:

(9.14)

Будем вычислять один коэффициент за другим, и подставляя их в (9.7) получим:

(9.15)

Введя новую переменную

и объединяя все постоянные множители в один фактор N_nl, получим, что функция R_nl (ρ), принадлежащая квантовым числам n и l, будет равна

, (9.16)

где - многочлен, стоящий в фигурных скобках в формуле (9.15). Этот многочлен выражается через производные многочленов Лаггера, которые определяются формулой

(9.17)

Тогда под многочленом понимается многочлен (9.18). Формулы (9.17) и (9.18) легко позволяют вычислить функции R_nl. Множитель N_nl – нормировочная постоянная.

9.3. Спектр энергии атома водорода.

Если подставить в формулу (9.13) значения постоянных , то можно вычислить квантовые уровни энергии электрона, движущегося в поле ядра номера z.

Отметим далее, что по мере увеличения главного квантового числа n эти уровни будут располагаться теснее и при , а далее идет область непрерывного спектра , которая соответствует ионизированному состоянию атома. Здесь энергия ионизации будет равна

Согласно квантовой теории света частота , излучаемого света при переходе из уровня в уровень можно оперделить используя уравнение Бора

(9.19)

Подставляя в (9.19) энергию из формулы (9.13), получим:

(9.20)

Здесь величина называют спектральным термом.

Терм для атома водорода будет равен

(9.21)

а величина

(9.22)

называется постоянной Ридберга.

Отметим далее, что все частоты, относящиеся к переходам, которые кончаются одним и тем же нижним уровнем образуют спектральную серию. Еще нам из курса атомной физики известно, что наиболее важными сериями атома водорода являются серии, связанные с переходом на уровень n=1, которые образуют серию Лаймана, частоты которые вычисляются по формуле

Излучению видимого света соответствуют переходы на уровень n=2. Cовокупность этих спектральных линий образуют серию Бальмера с частотой

Далее идут переходы на уровни3,4,5, которые дают спектральные линии, соответствующие серии Пашена, Брэкета, Пфунда, соответственно.