ЛЕКЦИЯ 8.                                                                                      

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

 

8.1.        Уравнение Шредингера для частицы в центральном поле и его решение.

8.2.        Различные состояния частиц в центральном поле.

 

8.1.        Уравнение Шредингера для частицы в центральном

поле и его решение.

Известно, что потенциальная энергия частицы в таком поле зависит лишь от ее расстояния r от силового центра. Законы движения в таком поле образуют основу атомной механики. Оператор полной энергии  в таком поле можно записать в виде:

,                                          (8.1)

где  – потенциальная энергия частицы, - оператор квадрата момента импульса,  - оператор кинетической энергии для радиального движения. Нам известно также, что в поле центральных сил интегралами движения являются полная энергия E и момент импульса (Mx, My, Mz, M 2). Найдем стационарные состояния частицы, движущейся в поле .

Уравнение Шредингера в этом случае запишется в виде

                                  (8.2)

Нам нужно найти однозначные, непрерывные и конечные решения этого уравнения во всей области изменения переменных r,θ,φ. Так как  и  коммутируют, то они должны иметь общие собственные функции, поэтому можно написать второе уравнение для Ψ:

                                                        (8.3)

Раннее отмечалось, что собственные значения  равны   ћ2 l (l+1),  так что вместо M 2Ψ можем подставить в уравнение (2) величину ћ2 l (l+1). Тогда получаем уравнение

                              (8.3’)

Видим, что это уравнение содержит только одну переменную r. Полагая теперь

,                                    (8.4)

где 

   ,                    (*)

а m = 0,±1,±2,…,±l,   l = 0,1,2,… (всего 2l+1 значений) имеем:

,

где

 – полином Лежандра.

Отметим, что (*) есть собственная функция оператора . Здесь мы одновременно удовлетворяем и уравнению (8.3’) и уравнению (8.3), если функция R (r) удовлетворяет уравнению

                             (8.5)

Это уравнение получено делением (8.3’) на функцию . Уравнение (8.5) есть уравнение Шредингера для радиальной функции R (r). Возможные значения энергии E определяются из уравнения (8.5) и зависят от . Взаимодействие на бесконечно больших расстояниях будем считать бесконечно малыми. Это означает, что  ,      

c – произвольная постоянная, определяющая уровень потенциальной энергии на бесконечности.

Характер решения уравнения (8.5) существенно зависит от того больше или меньше полная энергия E значения потенциальной энергии в бесконечности, то есть c. Но так как c - произвольная постоянная, будем полагать ее равной нулю и различать два случая: E > 0 и E < 0.

Для исследования решения уравнения (8.5) представим это решение в виде

                                                        (8.6)

Подставим это выражение для R в уравнение (5) и так как

                                (8.7)

получим следующее уравнение для функции :

                            (8.8)

Рассмотрим асимптотические решения этого уравнения при r→∞. Если пренебречь членом с  и  для больших r, получаем простое уравнение

                                         (8.9)

Теперь введем обозначения:    для  E > 0 и    для  E < 0. Тогда получим общее решение уравнения (8.9) в виде

            

               

В соответствии с (8.6) асимптотическое решение уравнения (8.5) будет иметь вид:

                            (8.10)

                             (8.11)

При E > 0 решение R конечно и непрерывно при любых значениях постоянных c1 и c2.

При E < 0 необходимо положить c2 = 0, иначе R→∞ при r→∞. Поэтому нужное решение будет иметь вид:

                                           (8.12)

Теперь будем исследовать поведение решения вблизи центра, т.е. при r→0. Будем искать  в виде степенного ряда

                      (8.13)

Подставляя (8.13) в уравнение (8.8), видим, что низшей степенью r будет rν-2 или rν-α. И если α>2, то низшей степенью будет rν-2. Член с rν-2 будет наибольшим при r→0, поэтому игнорируя величины высшего порядка, найдем, что результатом подстановки (8.13) в уравнение (8.9) будет            

Чтобы это равенство было соблюдено тождественно при всех (бесконечно малых) r, необходимо чтобы                                              (8.14)

Отсюда    ,    или              

Следовательно, при r→0 решение R, равное  имеет вид        

                           (8.15)

 

8.2.        Различные состояния частиц в центральном поле.

Окончательно получим, что при E > 0 имеем непрерывный спектр энергии. Для случая E < 0 имеем из требования конечности функции R (r) в нуле  не следует c2 = 0, так что в общем случае при R конечном в нуле решение будет возрастать в бесконечности неограниченно. Чтобы получить решения конечные и в бесконечности, нужно дополнительно требовать c2 = 0. А это налагает на возможные значения энергии E ограничение, так как тогда из соотношения       следует    .  Это будет некоторое трансцендентное уравнение для E. Корни этого уравнения E= E1, E2,…En,… и будут собственными значениями оператора энергии, так как только при E < 0 получается дискретный спектр собственных значений энергии. Таким образом, получили в этом случае систему квантовых уровней.

Отметим, что число l при движении в центрально-симметричном поле иногда называется азимутальным квантовым числом, а m – магнитным квантовым числом.

Для обозначения состояний с различными значениями момента l частицы существует общепринятая символика: состояния обозначают буквами латинского алфавита со следующим соответствием: l = 0   1   2   3   4   5   6

    s   p   d   f    g   h   i

При движении частицы в центрально-симметричном поле нормальным состоянием всегда является s- состояние. Действительно, при l≠0 угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное собственное значение энергии (при заданном l) растет с ростом l. Это следует из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена , который растет с увеличением l.