ЛЕКЦИЯ 7.

ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

7.1. Собственные функции и собственные значения осциллятора.

7.2. Представление чисел заполнения для гармонического осциллятора.

7.1. Собственные функции и собственные значения осциллятора

Гармонический осциллятор – это один из примеров системы, совершающей гармонические колебания около положения равновесия. Рассматривая одномерный случай, отметим, что энергия классических колебаний осциллятора определяется выражением

(7.1).

Заменяя в выражении (7.1) классические величины соответствующими операторами можно получить уравнение Шредингера для гармонического осциллятора. Так как оператор Гамильтона здесь равен , то или (7.2).

В уравнении (7.2) перейдем к безразмерным переменным

,

Тогда, так как ,

, то

или

(7.3)

Подставляя предполагаемое решение в виде в уравнение (7.3) получим уравнение для функции υ (ξ).

где штрих означает дифференцирование по ξ. Чтобы Ψ(ξ) было конечным, необходимо чтобы решения υ представляли собой полиномы конечного порядка относительно ξ. Известно, что существуют, если ε -1=2n, где n = 0,1,2,… . Каждому n соответствует полином n-го порядка, который называется полиномом Эрмита.

(7.4)

Нормированные волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятора имеют вид: (7.5).

Можно найти значение энергии

, (7.6)

которому соответствует одна функция (7.5), т.е. вырождение отсутствует. Энергия основного состояния называется нулевой энергией осциллятора.

Потенциальная энергия осциллятора инвариантна относительно преобразование инверсии, следовательно стационарные состояния подразделяются на четные и нечетные.

Все состояния с четным n относятся к четным состояниям, а с нечетным n – к нечетным. Здесь примечательным является то, что волновые функции меняют знак при преобразовании x→ -x.

Напишем явный вид некоторых полиномов Эрмита.

, ,

, .

Можно показать, что полиномы Эрмита удовлетворяют реккурентным соотношениям:

,

Ниже будем вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения ξ в состоянии Ψ_n (ξ).

(7.7)

Далее находим, что так как под интегралом нечетная функция ξ. Поэтому

(7.8)

Это получается так как

Или .

Применяя это соотношение еще раз, имеем

+

(7.9)

Подставим (7.9) в выражение для

Здесь использовано условие ортонормированности функций Ψ_n (ξ). Таким образом, получили или

(7.10).

Из выражения (7.10) следует, что среднее значение квадрата амплитуды нулевых колебаний определяется выражением .

Формулу для энергии можно преобразовать к виду

(7.11)

Получили, что энергия в классической и квантовой теории одинаково выражается через среднее значение квадрата отклонения от положения равновесия.

Можно легко вычислить матричные элементы оператора координаты, пользуясь формулой (7.8) и, учитывая ортонормированность функций Ψ_n.

Дифференцируя функцию Ψ_n по ξ, находим

(7.12)

или

Из соотношения (7.12) при учете (7.8) следуют два соотношения:

(7.13)

Введем оператор , который связан с оператором импульса

соотношением

Тогда соотношения (7.13) можно записать в виде:

, , (7.14)

где

(7.15)

С помощью формул (7.14) можно последовательным применением оператора получить волновую функцию n-го состояния из волновой функции нулевого состояния (7.16).

Можно сказать, что операторы и удовлетворяют перестановочным соотношениям

Применение последовательно соотношения (7.15) можно получить:

, (7.18)

.

Из (7.18) следует также соотношения коммутации между Видно, из (7.18), что собственные значения операторов и соответственно равны (n+1) и n. Следовательно, матрицы этих операторов в собственном представлении являются диагональными:

, (7.19)

Если использовать (7.19), можно легко вычислить собственные значения оператора Гамильтона, который может быть записан в виде

(7.20)

Но, согласно определению операторов и , имеем:

.

Получаем, что

или .

7.2. Представление чисел заполнения для гармонического осциллятора

Это представление рассмотрим с исследования одномерного гармонического осциллятора, так как здесь можно ввести понятия, которые могут быть использованы в других случаях. Мы показывали выше, что гамильтониан гармонического осциллятора можно записать в виде:

, (7.21)

где . Операторы координат и импульса можно выразить через два других неэрмитовых оператора:

, , (**)

которые удовлетворяют перестановочным соотношениям

Тогда гамильтониан (7.21) может принять вид:

(7.22)

Все другие оператора, относящиеся к гармоническому осциллятору, являются функциями и , поэтому, с помощью (**) их можно выразить через операторы и , то есть,

,

Действие операторов и на волновые функции Ψ_n определяется соотношениями (см. выше) ,

(7.23)

Выражения (**) определяют неэрмитовы операторы и в координатном представлении. Они действуют на множестве функций Ψ (ξ), нормированных условием .

В частности, равенства (7.23) определяют их действие на собственные функции оператора энергии. Указание квантового числа n (15) полностью характеризует стационарное состояние осциллятора. Будем называть одноквантовое возбуждение (n=1) – однофононным, двукратное – двухфононным, и т.д. Каждый квант возбуждения колебаний осциллятора будем называть фононом. Тогда квантовое число n будет определять число фононов в соответствующем состоянии. Все фононы имеют одинаковую энергию. Стационарное состояние полностью определяется указанием числа фононов, поэтому вместо функций Ψ_n (ξ) его можно характеризовать функцией, в которой независимой переменной является число фононов. Эту функцию будем обозначать символом . Действие оператора и на эту функцию определяется равенствами:

, (7.24)

Такое представление функций и операторов называется представлением квантовых чисел или чисел заполнения.

Операторы и действуют на числа заполнения n (число фононов) так, что уменьшает число фононов на единицу. Соответственно, их называют операторами уничтожения и рождения фононов. Операторы и полностью определяются соотношениями (**) и (7.24). А конкретный вид этих операторов несущественен. Используя соотношение можно показать, что действие оператора , то в представлении чисел заполнения этот оператор диагонален и его собственные значения определяют энергию системы. Если собственная функция основного состояния (состояния без фононов) в представлении чисел заполнения имеет вид , то последовательное применение оператора n раз приводит к тому, что волновая функция будет иметь вид: , (7.25)

т.е. мы получаем волновую функцию состояния с n фононами.

В представлении чисел заполнения обычно полагают , тогда функция , будет также нормирована к единице. Основное состояние системы, описываемое функцией , часто называют вакуумным состоянием. Вакуумное состояние можно определить условием , т.е. оператор уничтожения фононов, действуя на вакуумное состояние, дает ноль. Энергия вакуумного состояния равна .

Таким образом, представление чисел заполнения соответствует описанию колебаний осциллятора на языке квантов возбуждения фононов. Все фононы в этом случае одинаковы, и состояние однозначно определяется заданием числа фононов. Поэтому волновая функция в представлении чисел заполнения зависит только от одной переменной – числа фононов.

Операторы гармонического осциллятора в представлении чисел заполнения можно записать в виде бесконечных матриц. Так, например, неэрмитовы операторы уничтожения и рождения имеют вид:

, (7.26)

В этом представлении ясно видна эрмитова сопряженность операторов и . Оператор числа фононов изображается диагональной матрицей

Действительно, умножая получим:

(7.27)

Волновые функции стационарных состояний изображаются матрицами-столбцами

, , и т.д.

В представлении чисел заполнения легко вычислять средние значения в состояниях любых функций координат и импульсов. Например, учитывая равнества

, ,

имеем:

,

,

,

Так как то

.