ЛЕКЦИЯ 6.

ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЬСА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

 

6.1.        Оператор момента импульса в сферических координатах.

6.2.        Собственные значения и  собственные функции оператора момента импульса.

 

6.1.        Оператор момента импульса в сферических координатах.

Известно из классической механики, что момент импульса – это векторное произведение радиуса вектора на импульс частицы. Этой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие оператор момента импульса, который обозначается буквой , т.е. . Можно показать, что   .

Кроме того,  коммутирует с . Поэтому эти операторы имеют одинаковые собственные функции. Отметим, что большинство задач квантовой механики удобно решать, используя сферические координаты, поэтому получим выражение для оператора  в сферических координатах.

Так как     ,      ,        ,

То    ,     ,      ,      .

Следовательно, .

,       ,      .

Так как , то

     

 

;     ;     .

Последние равенства получаются аналогично, т.к.

;        ;

;        .

Из выражения      следует, что   .  

Но так как    ,      то   ,                                          

.

Нам известно, что   .

Тогда

=

т.е. 

,                                                (6.1)

аналогично можно получить

                            (6.2)

                           (6.3)

.

Таким образом, получаем

                       (6.4)

 

6.2. Собственные значения и собственные функции оператора момента импульса

Сначала мы найдем собственные значения оператора , а затем его собственные функции. Для этого решим уравнение   (Это получается из-за того, что мы составляем уравнение на собственные функции и собственные значения оператора ).

Решение этого уравнения имеет вид:  

  ,                                        (6.5)                  

здесь принято ћ = 1, где f (r,θ) – произвольная функция переменных r и θ. Для того, чтобы функция Ψ была однозначной, необходимо, чтобы она была периодична по φ с периодом 2π. Отсюда находим, что Mz=m, где m=0,±1,±2,.. Таким образом, получим собственное значение Mz,, равные положительным и отрицательным целым числам, включая нуль.

Зависящий от φ множитель, характерный для собственных функций оператора , обозначим через Φ (φ).   

                                                     (6.6)

Эти функции нормированы условием

                       (*)

Для нахождения собственных значений оператора  и , то имеем

 и    ,

Подставляя вместо оператора  свое значение, можно написать уравнение в виде:

,               (6.7)

где   через 

Уравнение (6.7) мы должны решить для всей области изменения переменных . Как мы уже отмечали ранее решения должны быть конечными, непрерывными и однозначными функциями. Это уравнение известно и оно для шаровых функций. Решение этого уравнения, удовлетворяющие этим условиям, существуют лишь при значениях , где  - целое положительное число. Известно, что при каждом значении  имеется   решений. Эти решения можно обозначить так:

           ,                                   (6.8)

где m- целое число, которое принимает значения: 

Здесь функция  равна:

, где ,

а - полином Лежандра, который имеет вид:

                                           (6.9) 

  Отметим также,  что  выбран так, чтобы функции были не только ортогональными, но и нормированными к единице на поверхности шара, то есть, чтобы имело место выражение

Выше отмечалось, что уравнение (**) имеет однозначные и конечные решения только при значения оператора    , где , а соответствующие собственные функции будут

Для собственных функций   имеем уравнение , или .

Подставляя выражение для функции , видим, что получается результат  или