ЛЕКЦИЯ 11.

ОПЕРАТОР СПИНА ЭЛЕКТРОНА

11.1. Матрицы Паули

11.2. Собственные значения и собственные функции оператора спина

электрона. Спиновые функции.

11.1. Матрицы Паули

Нам уже известно, что в соответствии с общими принципами квантовой механики спину электрона сопоставляется линейный самосопряженный оператор. Операторы проекций спина на соответствующие оси координат обозначим через . Чтобы определить вид этих операторов будем считать,что эти операторы подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и операторы проекций момента импульса на оси координат , то есть

, , (11.1)

Но проекция спина на любое направление может принимать два значения: . По этой причине операторы должны изображаться двухрядными матрицами, так как двухзарядная матрица, будучи приведена к диагональному виду, содержит лишь два диагональных члена и имеют только два собственных значения. Считая, что

(11.2)

можем сказать, что операторы (спиновые матрицы) должны быть двухзарядными матрицами вида:

(11.3)

имеющие собственные значения, равные ±1. Если подставить (11.2) в (11.1) и сократить на , получим

, , (11.4)

Так как собственные значения равны ±1, то собственные значения операторов равны +1. Следовательно, в собственном представлении эти последние матрицы должны иметь вид:

(11.5)

Или они являются единичными матрицами , где

(11.6)

Известно, что единичная матрица остается единичной во всяком представлении. Рассмотрим комбинацию

(*)

Используя соотношение (4) последнее соотношение можно переписать в виде .

Так как - единичная матрица, то .

и

(11.7)

Получили, что матрицы σ_x и σ_y антикоммутируют. Применяя циклическую перестановку σ_x, σ_y, σ_z, находим:

(11.8)

Чтобы найти явный вид матриц σ_x, σ_y, σ_z. Будем считать, что матрица σ_z приведена к диагональному виду. Но ее собственные значения равны ±1, поэтому диагональный вид σ_z будет иметь вид:

(11.9)

Остальные матрицы будут иметь вид:

(11.9’)

Действительно, образуя произведения σ_z σ_x и σ_x σ_z, имеем:

Отсюда следует, что ,

, .

То есть , , и матрица σ_x имеет вид .

Найдем :

(11.10)

Теперь сравним это выражение с (11.5) получим, что . Но матрица должна быть самосопряженной, то есть .

Следовательно,

и . (*)

Аналогично находим, что

(**)

Умножая σ_x на σ_y, а затем σ_y на σ_x и воспользуемся соотношениями (11.8) Тогда получим, что ,

и , то есть .

Мы видим, что все соотношения удовлетворены при произвольном значении α. Поэтому можем взять . Подставляя эти значения в (*) и (**) получаем (11.9’).

Матрицы операторов в представлении, в котором диагональна (s_z – представление) имеют вид:

(11.11)

Оператор квадрата спина электрона будет иметь вид:

(11.12)

Если введем квантовые числа m_s и l_s, определяющие значения проекции спина на направление oz и квадрат спина в полной аналогии с формулами (11.9) и (11.10) для орбитального момента имеем:

, , ,

11.2. Собственные значения и собственные функции оператора спина электрона. Спиновые функции

Состояние спина в квантовой механике характеризуется двумя величинами: абсолютным значением или и проекцией спина s_z. s² для всех электронов одинаковый, поэтому остается одна переменная s_z. Наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона, появляется еще одна переменная s_z, определяющая спин [13]. И можно сказать, что электрон имеет 4 степени свободы. Соответственно этому, волновую функцию Ψ, определяющую состояние электрона можно считать функцией четырех переменных. В координатном представлении для электрона следует писать

(11.13)

Мы отмечали, что спиновая переменная имеет только два значения , следовательно можно отметить, что вместо одной функций мы получаем две функции:

и (11.14)

Иногда эти функции записывают в виде матрицы состоящей из одного столбца

, (11.15)

и самосопряженную функцию в виде матрицы с одной строкой

(11.15’)

Волновые функции Ψ₁ и Ψ₂ будут различаться только в том случае, если существует реальная связь спином и движением центра тяжести электрона. Такая связь представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. И это взаимодействие обуславливает мультиплетную структуру спектров. Н о если игнорировать мультиплетной структурой, то можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. Тогда

(11.16)

Но, чтобы отметить и в этом случае, что речь идет о частице со спином, пишут функцию (11.13) в виде, соответствующем разделению переменных.

, (11.17)

где через обозначена спиновая функция. По существу это простой значок, указывающий состояние спина частицы.

Отметим, что смысл этого «значка» или спиновой функции таков: индекс α принимает два значения: . Первое значение (или 1), означает, что проекция спина на направление oz равна , а второе значение индекса α означает состояние спина с другим возможным значением проекции спина на ось oz, а именно .

Тогда

, (11.18)

так как по смыслу значка в состоянии , и в этом же состоянии не может быть , поэтому соответствующая функция равна нулю. Подобным образом

, (11.18’)

Запись (11.13), и как частный случай, в отсутствии взаимодействия спина с орбитальным движением, в виде (11.17) позволяет рассматривать спин s_z как динамическую переменную.

Введенные волновые функции спина обладают свойством ортонормировки. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим произведение

, где означает сопряженную с S функцию, а . Просуммируем это произведение по всем возможным значениям спиновой переменой s_z. Тогда из выражений (11.18) и (11.18’), так как , получаем

(11.19)

Здесь функция может быть представлена в матричной форме

(11.20)