ЛЕКЦИЯ 10.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

 

10.1. Постановка вопроса.

10.2. Возмущение в отсутствие вырождения.

 

10.1. Постановка вопроса.

Отметим, (9) что точное решение уравнения Шредингера, определяющего энергию стационарных состояний систем, возможно только для некоторых простейших потенциальных полей. При исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций операторов Гамильтона. В последнее время в связи с появлением магнитных ЭВМ большое значение приобретают численные методы решения задач квантовой механики. Здесь же мы рассмотрим метод приближенного отыскания собственных значений и собственных функций реальных систем, не очень сильно отличающихся от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этом случае приближенные методы могут быть сведены к вычислению поправок к точному решению. Общий метод вычисления таких поправок носит название теории возмущений.

Пусть имеем дискретный спектр энергии системы и стационарную задачу. Предположим, что  можно разбить на два слагаемых     ,      (10.1) где - гамильтониан точно решаемой задачи, а - некоторая малая добавка, которая называется оператором возмущения и это может быть часть оператора Гамильтона, которая не учитывалась в идеализированной задаче или потенциальная энергия внешнего воздействия (поля).

 

10.2.Возмущение в отсутствие вырождения.

    Здесь задачей теории возмущений является отыскание формул, определяющих энергию и волновые функции стационарных состояний через известные значения энергий En0 и волновых функций φn «невозмущенной» системы, описываемой гамильтонианом . Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсутствует вырождение, т.е.                                           (10.2)

И если     ,    где λ – малый безразмерный параметр, то задача отыскания собственных функций и собственных значений оператора (10.1) сводится к решению уравнения                                         (10.3)    

Здесь удобно перейти от координатного представления к энергетическому, выбрав в качестве базисной системы систему собственных функций φn оператора невозмущенной задачи. И тогда  

                                                                                (10.4)

Совокупность всех  представляет собой функцию  в « »-представлении.

Далее подставляя (10.4) в (10.2), умножая его на  и интегрируя по , получим:

,                                      (10.5)

где -матричный элемент оператора  в  « »-представлении, будет иметь вид:

.                                   (10.6)

Подставляя вместо  его выражение (10.1), можем написать:

    (10.6’)

где  -матричный элемент энергии возмущения в « »-представлении, т.е.

.                                   (10.7)

подставляя (10.6’) в (10.5), получим:

,                              (10.8)

или перенося все члены налево, находим:

.                       (10.9)

Отметим, что  и  пробегают все значения, которыми нумеруются функции невозмущенной системы . Теперь предположим, что

,                                         (10. 10)

где - малый параметр. Если  оператор . Тогда  уравнение (10.9) запишется в виде

.                   (10.11)

При  из (10.11) получается просто уравнение

,

которое имеет решения:

,  .                                     (10.12)

Чтобы определить поправки к энергии и волновой функции стационарного состояния рассмотрим собственные  функции и собственные значения в виде разложения в ряд по степеням :

                              (10.13)

                             (10.14)

Далее   (10.13)  и  (10.14) переходят в (10.12), причем  должен равняться .

Отметим также, что  решение  уравнений (10.11)  зависит от того, вырождены   состояния системы  или нет.

Здесь будем считать, что вырождения нет и  каждому собственному значению  невозмущенного уравнения (10.*) принадлежит одна собственная функция  и одна амплитуда . Подставляя в уравнение (10.11) ряды (10.13) и (10.14) и, собрав члены с одинаковыми степенями  мы получаем:

     (10.15)

Нулевое приближение мы здесь получаем, если положим .

,                        (10.16)        

Это уравнение  для невозмущенной системы . Если нас интересует, как меняется уровень  и собственная функция  под действием возмущения , то из решения (10.16) мы должны взять к-тое уравнение:

,  ,                                 (10.17)

то есть все , кроме .

Здесь решение (10.17) называют решением в нулевом приближении. Подставим это решение в уравнение (10.15), и получим:

       (10.18)

И тогда

  .              (10.18’)

          Возьмем из этих уравнений уравнение номера ,и получаем:

Или поправка к  первого приближения есть:

                                       (10.**)

Поправки к амплитудам  находим из уравнения с . Если , то уравнение (10.18’) дает

                               (10.19)

Откуда получаем,  что

,                            (10.20)

Чтобы найти второе приближение необходимо подставить первое приближение (10.**) и (10.19) в (10.15). Тогда имеем:

          (10.21)

Здесь можно написать уравнение для определения   и . Уравнение номера  имеет вид:

   или

                                       (10.22)

Если рассмотрим случай  можно найти :

,  ,  .      (10.23)