1.1. Введение

Нам известно, что классическая механика может быть применена для описания движения макроскопических частиц и их систем. Но такое описание оказалось несправедливым, когда речь идет о микрообъектах и появилась теория, которая, устанавливает способ описания и законы движения микрочастиц и их систем, а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

Только квантовая механика может объяснить такие понятия и явления как сверхтекучесть, сверхпроводимость, ферромагнетизм, а также различные астрофизические явления.

Квантовую механику называют также волновой механикой, поскольку здесь одно из основных понятий- это волновая функция, которая является решением основных уравнений: как нерелятивистского, так и релятивистского уравнений квантовой механики.

Можно отметить, что квантовая механика делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности.

Нерелятивистская квантовая механика - это законченная и логически непротиворечивая фундаментальная физическая теория.

Релятивистская квантовая механика не является завершенной и свободной от противоречий теорией, но она применима для описания движения микрочастиц, движущихся со скоростью, близкой скорости света.

Еще Планк в 1900году ввел постоянную, которая определяет соотношение между квантовой и классической механикой. Эта величина носит название постоянной Планка и обозначил ее буквой ,

которая называется также квантом действия и имеет размерность действия. Если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше постоянной Планка, то применима классическая механика. Формально это условие и является критерием применимости классической механики.

Можно отметит, что теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к противоречию. Чтобы его разрешить, Планк предположил считать, что свет испускается не непрерывно (как это следовало из классической теории излучения), а определенными дискретными порциями энергии - квантами.

Эйнштейн в 1905 году построил теорию фотоэффекта, развивая квантовые представления Планка. Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, т.е. что дискретность присуща не только процессам испускания и поглощения света, но и самому свету, что свет состоит из отдельных порций - световых квантов.

Эффект Комптона выявил корпускулярные свойства света. Было экспериментально доказано, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц. В этом проявляется дуализм света, его корпускулярно-волновая природа.

Здесь мы имеем дело с логическим противоречием, которое заключается втом, что для объяснения одних явлений надо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. Разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ квантовой механики.

Еще в 1913 году Бор применил идею квантов к планетарной модели атома. Но классические представления приводили к парадоксу - радиус орбиты электрона должен был постоянно уменьшаться из-за излучения и электрон должен был упасть на ядро. По этой причине Бор предложил, что электрон испускает световые волны не постоянно, а лишь при переходе с одной орбиты, удовлетворяющей условиям квантования, на другую.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 году Бором условиям квантования атомных орбит, выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Он считает, что каждой частице, независимо от ее природы, надо поставить в соответствие волну, длина которой связана с импульсом частицы.

Тогда мы имеем дело с тем фактом, что не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые проявляются должны в экспериментах по дифракции частиц.

В 1927 году в эксперименте наблюдалась дифракция электронов, а позднее - дифракция и других частиц, тем самым справедливость гипотезы де Бройля была подтверждена экспериментально.

В 1926 году австрийский физик Шредингер предложил уравнение, описывающее поведение волн, соответствующих каждой частице (волн де Бройля), во внешних силовых полях. Это волновое уравнение, которое получило название уравнение Шредингера, является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики.

В 1928 году Дираком было сформулировано релятивистское уравнение, описывающее движение электрона с отличным от нуля спином во внешнем силовом поле. Уравнение Дирака стало одним из основных уравнений релятивистской квантовой механики.

Здесь мы можем отметить, что Бор по существу, используя квантовые представления, построил "полуклассическую" теорию, которая встретилась со многими трудностями. Эти трудности заключались в том, что здесь с одной стороны использована классическая механика, а с другой - привлекались правила квантования, которые противоречат классической электродинамике.

Кроме того, теория Бора не могла объяснить, как движется электрон при переходе с одного уровня на другой. И мы приходим к выводу, что движение электронов в атоме нельзя описывать в терминах классической механики (как движение по определенной траектории, орбите), что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электрона в атоме. Стало очевидным тот факт, что для построения модели атома необходима принципиально новая теория, которая для описания поведения электрона в атоме не оперирует понятиями классической механики. В новую теорию могли входить только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

Немецкий физик Гейзенберг в 1925 году построил формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некоторые абстрактные величины - матрицы.

Работа Гейзенберга была развита Борном и Иорданом. Так возникла матричная механика.

1.2. Корпускулярно-волновой дуализм

Корпускулярно-волновой дуализм - это такой принцип, согласно которому любой физический объект может быть описан как с использованием математического аппарата, основанного на волновых уравнениях, так и с помощью формализма, основанного на представлении об объекте как частице или системе частиц. Нам уже известно, что волновое уравнение Шредингера не накладывает ограничений на массу описываемых им частиц, и следовательно, любой частице, как микро-, так и макро-, может быть поставлена в соответствие, так называемая, волна де Бройля. Следовательно, любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные свойства.

Впервые идея о корпускулярно-волновом дуализме была использована при разработке квантовой механики, чтобы можно было интерпретировать явления , наблюдаемые в микромире с точки зрения классических концепций. В соответствии с теоремой Эренфеста квантовые аналоги системы канонических уравнений Гамильтона для макрочастиц приводят к обычным уравнениям классической механики. Дальнейшим развитием принципа корпускулярно-волнового дуализма стала концепция квантованных полей в квантовой теории поля.

Свет можно трактовать как поток корпускул (фотонов), которые во многих физических эффектах проявляют свойства электромагнитных волн. Кроме того, свет демонстрирует свойства волны в явлениях дифракции и интерференции при масштабах, сравнимых с длиной световой волны. Например, даже одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, определяемую уравнениями Максвелла. Характер решаемой задачи диктует выбор используемого подхода: корпускулярного (фотоэффект, эффект Комптона), волнового или термодинамического.

Но, экспериментальные данные говорят нам о том, что фотон не есть короткий импульс электромагнитного излучения и он не может быть разделён на несколько пучков оптическими делителями лучей, что наглядно показал эксперимент, проведённый французскими физиками Гранжье, Роже и Аспэ в 1986 году. Корпускулярные свойства света проявляются при фотоэффекте и в эффекте Комптона. Фотон ведет себя и как частица, которая излучается или поглощается целиком объектами, размеры которых много меньше его длины волны , или вообще могут считаться точечными.

В настоящее время концепция корпускулярно-волнового дуализма представляет лишь исторический интерес, так как, некорректно сравнивать и/или противопоставлять материальный объект и способ его описания и, кроме того, число способов описания материального объекта может быть больше двух (нам известны как корпускулярный, так волновой, и термодинамический способы), так что сам термин «дуализм» становится неверным. Но в свое время концепция корпускулярно-волнового дуализма служила способом интерпретировать поведение квантовых объектов, подбирая аналогии из классической физики. А на самом деле квантовые объекты не являются ни классическими волнами, ни классическими частицами. Они приобретают свойства первых или вторых лишь в некотором приближении. Более корректной является формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям, то есть, пропагаторная, которая свободна от использования классических понятий.

1.3. Волны де Бройля

Известно, что физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Причем, квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с постоянной Планка ℏ. Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме c, то применяется нерелятивистская квантовая механика, а при скоростях близких к c — релятивистская квантовая механика.

Мы уже отмечали, что в основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов и Эйнштейна о фотонах, а так же данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определенных условиях состояния частиц микромира.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом p. Все частицы, имеющие конечный импульс p, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции.

Формулу де Бройля, устанавливающую зависимость длины волны λ, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса p частицы имеет вид:

где m — масса частицы, v — ее скорость, h — постоянная Планка. Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.

Формула де Бройля имеет еще и другой вид:

где — волновой вектор, модуль которого — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на 2π единицах длины, n — единичный вектор в направлении распространения волны, .

Длина волны де Бройля для нерелятивистской частицы с массой m, имеющей кинетическую энергию определяется, как

Для электрона, ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов Δφ, длина волны де Бройля будет

Формула де Бройля экспериментально подтверждается опытами по рассеянию электронов и других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещества. Признаком волнового процесса во всех таких опытах является дифракционная картина распределения электронов(или других частиц) в приемниках частиц.

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Но наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, и примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

где ω=2πν — циклическая частота, W — кинетическая энергия свободной частицы, E — полная (релятивистская) энергия частицы, — импульс частицы, m, — её масса и скорость соответственно, λ — длина дебройлевской волны. Последние соотношения это нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости волн де Бройля от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля u равна скорости частицы :

Связь между энергией частицы E и частотой ν волны де Бройля имеет вид: E=hν=ℏω,

Отметим, что волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определенные места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. А в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль, частицы не будут обнаружены.