Модуль 2. Тема 3. Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется первая производная от ее функции распределения.

Обозначается плотность распределения непрерывной случайной величины через или .

Таким образом, по определению

. (1)

Функция называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения непрерывной случайной величины.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует

Но согласно свойству функции распределения

Отношение

представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка . Тогда

, (2)

т.е. плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины в промежуток к длине этого промежутка, когда стремится к нулю. Из равенства (2) следует, что

Таким образом, плотность вероятности определяется как функция , удовлетворяющая условию . Выражение называется элементом вероятности.

Отметим, что плотность аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от до , т.е. .

3. Функция распределения непрерывной случайной величины представляется через плотность распределения в виде: .

4. Несобственный интеграл от плотности вероятности в бесконечных пределах равен единице, т.е.

Можно дать еще одно определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что при любом функцию распределения можно представить в виде .