Модуль 2. Тема 2. Функция распределения и ее свойства

Очевидно, ряд распределения случайной величины может быть построен только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин нельзя даже перечислить все возможные значения.

Для характеристики поведения непрерывной случайной величины целесообразно использовать вероятность события , а не , где - некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов. Более важным является событие вида или . Такое событие имеет ненулевую вероятность, т.е. при изменении вероятность события в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность является функцией от .

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая .

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , которая для любого числа равна вероятности события .

т.е. . (1)

Функция называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (1) можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки , т.е случайная точка попадает в интервал .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. ограничена, т.е. .

2. - неубывающая функция на R, т.е. если , то

3. обращается в ноль на минус бесконечности и равна единице на плюс бесконечности, т.е. .

4. Вероятность попадания случайной величины в промежуток равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т.е.

. (2)

5. непрерывна слева, т.е. .

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события :

Можно дать более точное определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет заранее указанное определенное значение , равна нулю.

Действительно, применим формулу (2) к промежутку : . Будем неограниченно приближать точку к . Так как функция непрерывна в точке , то . В пределе получим

Если функция везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Следовательно, для непрерывных случайных величин справедливы равенства

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид

. (3)

Здесь суммирование ведется по всем для которых .

Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные черные. Из нее наудачу вынимают 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке и найти функцию распределения.

Решение. Возможные значения случайной величины Х- числа белых шаров в выборке есть 0, 1, 2, 3. Их соответствующие вероятности:

Закон распределения запишем в виде таблицы.

X	0	1	2	3
P	1/56	15/56	30/56	10/56

Контроль: 1/56+15/56+30/56+10/56=1.