Модуль 1. Тема 9. Независимые испытания. Схема Бернулли

Серия независимых испытаний Бернулли

С понятием «независимых событий» связано понятие «независимых испытаний» (опытов).

Несколько опытов называются независимыми, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности).

Другими словами, если проводится несколько испытаний, т.е. опыт выполняется при данном комплексе условий многократно (такое явление называется последовательностью испытаний), причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Примерами независимых испытаний могут служить: многократное подбрасывание монеты, стрельба (-раз) по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле.

При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.

Событие А, которое может произойти при выполнении некоторых условий S, называют иначе успехом. Вероятность такого события обозначают , т.е. . А противоположное ему событие называют неудачей. Вероятность такого события обозначают , т.е. .

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А с вероятностью или противоположное ему событие с вероятностью , называется схемой Бернулли.

Например, при стрельбе по мишени: событие А - попадание (успех), событие - промах (неудача); при обследовании n изделий на предмет годности: А - деталь годная (успех), событие - деталь бракованная (неудача) и т.д.

В каждом таком опыте последовательность элементарных исходов состоит только из двух элементарных событий, т.е. , где неудача, успех, при этом , . Вероятности этих событий обозначают через и . Множество элементарных исходов для n опытов состоит из элементов. Например, при n=3, т.е. опыт повторяется 3 раза, . Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. По теореме умножения вероятность события, скажем , равна .

Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз . Обозначается искомая вероятность .

Например, при бросании игральной кости 3 раза означает вероятность того, что в 3-х опытах событие – выпадение часла очков 4- произойдет ровно 2 раза. Очевидно,

Теорема. Если производятся n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна , а вероятность его непоявления равна , то вероятность того, что событие произойдет ровно m раз определяется формулой Бернулли

(1)

Доказательство. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что событие в независимых опытах появится ровно m раз в первых m опытах и не появится (n-m) раз в остальных опытах по теореме умножения вероятностей равна . Вероятность появления события снова m раз, но в другом порядке ( например ) будет той же самой, т.е. .

Число таких сложных событий- в n опытах m раз встречается событие А в различном порядке- равно числу сочетаний из n по m, т.е. . Так как все эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий, т.е.

, m=0,1,…,n.

Пример1. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет: а) 4 раза; б) ни разу; в) хотя бы один раз.

Решение. Вероятность успеха в одном «испытании» (при одном бросании монеты) равна , неудачи . Тогда по формуле (1):

а) , где А – событие, что герб выпадет 4 раза.

б) , где В – событие, что герб ни разу не выпадет.

в) , где С – событие, что герб выпадет хотя бы один раз.

Вероятности (1.10.1) являются коэффициентами при в разложении по формуле бинома Ньютона:

Поэтому совокупность вероятностей называют биномиальным законом распределения вероятностей, а функцию производящей функцией.

Если в серии из n независимых опытов, в каждом опыте может произойти одно и только одно из событий с соответствующими вероятностями , , то вероятность того, что в этих опытах событие появится раз, событие появится раз,…., событие появится раз, равна

где . Эти вероятности называются полиномиальным распределением.

Определение. Число , при котором функция , , принимает максимальное значение, называется наивероятнейшим числом «успехов».

Число определяют следующим образом: если - не целое число, то равно ближайшему целому числу, большему чем ; если - целое число, то принимает два значения и .

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени с вероятностью попадания равной 0,8. Сделано 20 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение. Здесь , , . Следовательно,

, т. е.

Так как - целое число, то .

Предельные теоремы

Использование формулы Бернулли при больших значениях n и m вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. В таких случаях подсчитать результат практически невозможно. Пользоваться формулой Бернулли вызывает затруднения также при малых значениях p и q. В таких случаях, возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; на них основаны так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях числа испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три такие предельные теоремы.

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается () и вероятность p наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается (), но так, что произведение является постоянной величиной , то вероятность удовлетворяет предельному равенству

. (2)

Выражение (2) называется асимптотической формулой Пуассона.

Доказательство. Преобразуем формулу Бернулли с учетом того, что :

Переходя к пределу при , получим .

Из предельного равенства (2) при больших и малых вытекает приближенная формула Пуассона

, , . (3)

Формула (3) применяется, когда вероятность успеха крайне мала, т.е сам по себе успех является редким событием. Приближенную формулу (3) обычно используют, когда , а . Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Пример 1. С винного завода отправили в Москву 1500 бутылок вина. Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок.

Решение. Искомая вероятность равна

Так как n=1500, p=0.002, то . Вероятность события найдем по формуле Пуассона (3):

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов).

Поток событий, обладающих свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Свойство стационарности означает, что вероятность появления событий на участке времени длины зависит только от его длины (т.е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность потока, есть величина постоянная: .

Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен).

Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления событий на любом отрезке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом непересекающимся с ним отрезке (говорят: «будущее» потока не зависит от прошлого, например, поток людей, входящих в супермаркет).

Вероятность появления событий простейшего потока за время продолжительностью определяется формулой Пуассона

Пример 2. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Вероятность позвонить любому абоненту в течении часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течении часа позвонят 5 абонентов?

Решение. Среднее число позвонивших в течении часа абонентов равно . Тогда .

В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность p не близка к нулю, для вычисления биномиальных вероятностей используются приближенные формулы, получаемые на основе теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы и величина при ограничена, тогда справедливо равенство

, где .

Отсюда можно получить приближенную формулу

, где . (4)

Равенство (4) тем точнее, чем больше .

Выражение называется функцией Гаусса, а ее график- кривой вероятностей. Тогда формулу (4) можно переписать в виде

, где . (5)

Для функции составлены таблицы значений (они приводятся как Приложения в книгах по теории вероятностей) При использовании таблицы следует учитывать, что:

а) функция четная, т.е. ;

б) при можно считать, что .

Пример 3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь . Применим формулу (5). Имеем . Следовательно, . Учитывая, что , получаем

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие А появится не менее , но не более раз, т.е. , используют интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то для схемы Бернулли при и для любых и справедливо