Модуль 1. Тема 8. Формула полной вероятности и Байеса

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.

Формула полной вероятности.

События образуют полную группу если . Если Ø, (), то события попарно-несовместны.

Теорема 1. Пусть события образуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда для любого, наблюдаемого в опыте, события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности:

(1)

Доказательство. Так как , то в силу свойств операций над событиями

Из того, что Ø следует, что Ø, , т.е. события и также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей

По теореме умножения вероятностей , откуда и следует формула (1).

Отметим, что в формуле (1) события обычно называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие А - один из возможных исходов второго этапа.

Пример 1. В сборочный цех завода поступают 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Решение. Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый этап – это выбор цеха. Имеется две гипотезы - деталь изготовлена первым цехом, вторым цехом. Второй этап- взятие детали из выбранного цеха. Событие А - взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, что события и образуют полную группу и Ø. , . , . По формуле (1.9.1) находим

Формула Байеса.

Следствием формулы (1) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез , принятых до опыта и называемых априорными по результатам уже проведенного опыта, т.е. найти условные вероятности , которые называют апостериорными (послеопытными).

Теорема 2. Пусть события образуют полную группу событий и попарно несовместны. Тогда условная вероятность события при условии, что событие А произошло, задается формулой

, (2)

где . Формула (2) называется формулой Байеса.

Доказательство. Применяя формулы условной вероятности и умножения вероятностей, имеем

где находят по формуле полной вероятности.

Пример 2. В сборочный цех завода поступают 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором 95%. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

Решение. Определим вероятность гипотезы при условии, что событие А (взятая деталь стандартна) уже произошло, т.е. .