Модуль 1. Тема 6. Аксиоматическое определение вероятности

1. Алгебра событий

2. Аксиомы вероятностей

3. Свойства вероятностей

Пусть - множество всех возможных исходов некоторого опыта.

Совокупность F подмножеств множества называется алгеброй событий, если выполнены следующие условия:

1. F.

2. Если F, то также принадлежит F.

3. Если события принадлежит F, то их сумма также принадлежит F.

Если для множества F выполняется также свойство

4. Если события принадлежит F, то F принадлежит также сумма , то F называется сигма-алгеброй (-алгебра) событий.

Вероятностью называется функция P(A), определенная на алгебре событий F, принимающая действительные значения и удовлетворяющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события F неотрицательна, т.е.

.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

А3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если Ø , то

.

Определение. Совокупность объектов (,F,), где - пространство элементарных событий, F - алгебра событий, P - числовая функция, удовлетворяющая аксиомам, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления; заданием этого пространства завершается аксиоматика теории вероятностей.

Замечание. Во многих случаях мы имеем дело с решением задач, связанных с бесконечным числом событий. Поэтому необходимо к приведенным добавить еще одну аксиому А4.

А4. Если F, , Ø, , то .

Эта аксиома называется аксиомой счетной аддитивности.

Свойства вероятностей, вытекающие из аксиом Колмогорова (А1, А2,А3) приведены в предыдущем параграфе.

Пример. Из колоды содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама»

Решение. Пусть - интересующее нас событие, -появление одной «дамы», - появление двух дам , - трех «дам». Тогда , причем события несовместные. Поэтому , т.е.

Задача решается и другим методом тоже, если воспользоваться свойством С2. Находим , где - среди вынутых карт нет ни одной «дамы».

. Значит

Свойства вероятностей

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .

Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.

С1. Вероятность невозможного события равна нулю.

С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

.

С3. Вероятность любого события не превосходит единицы, т.е. .

С4. Если , т.е. событие А влечет за собой событие В, то

.

С5. Если события образуют полную группу несовместных событий, т.е. и , то

.