Модуль 1. Тема 2. Классическое определение вероятности

1. Вероятность

2. Свойства вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Рассмотрим в этом параграфе определение, которое называется классическим.

Рассмотрим пример. Пусть бросают игральную кость. Очевидно, возможность выпадения двойки на одной из сторон игральной кости является случайным событием. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события. Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности выпадения двойки при бросании игральной кости. Элементарные исходы обозначим . В нашем случае возможны следующие 6 элементарных исходов: , (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Легко видеть, что все эти элементарные исходы равновозможные.

Классическое определение вероятности исходит из конечности всех исходов эксперимента (опыта) и их равновозможности. Последнее требование, как правило, определяется условием опыта, например, условием симметричности, неизменности условий при повторении опыта и т. д.

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими. В нашем случае благоприятствующим является один исход - .

Определение. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называется вероятностью события А и обозначают через Р(А):

где n- число всевозможных элементарных исходов, m- число благоприятствующих появлению события А исходов.

В рассматриваемом примере эта вероятность равна .

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: .

Действительно, если событие достоверное, то число благоприятствующих появлению события исходов равно общему числу всевозможных элементарных исходов ().

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю:Ø

Действительно, если событие невозможное, то число благоприятствующих появлению события исходов равна нулю ().

Свойство 3. .

Свойство 4. , если Ø, т. е. события несовместны.

Свойство 5. , если - событие влечет за собой событие , т. е. как только происходит событие , происходит и событие .

Свойство 6. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: