Модуль 1. Тема 1. Событие и операции над событиями

Результат опыта или наблюдения называется элементарным событием (исходом). Множество всех элементарных событий (исходов) будем обозначать через , а его элементы – через ,

Любое подмножество множества называется событием. - событие, , где . Множество всех событий будем обозначать через F.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно наступит, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, пусть событие А- выпадение герба или решки при бросании монеты. В данном случае событие А обязательно наступит в результате испытания. Следовательно, А – достоверное событие. Достоверное событие обозначают .

Невозможным называют событие, которое заведомо не наступит, если будет осуществлена совокупность условий S. Невозможное событие будем обозначать символом Ø. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре , то событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» есть невозможное.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, событие «выпадение герба», если брошена монета, является случайным событием. Случайные события обозначают через большие латинские буквы. Каждое случайное событие есть следствие действия многих случайных факторов. Невозможно учесть влияние на результат всех этих факторов, так как их число очень велико и законы их действия не известны.

По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий подчиняется вероятностным закономерностям.

Таким образом, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Случайные события в свою очередь бывают совместные и несовместные.

События и называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании. В противном случае события называют совместными.

Пример 1. Из ящика с деталями извлечена наудачу деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь»- несовместные.

Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. События «первый стрелок поразил мишень» и «второй стрелок поразил мишень»- совместные.

Операции над событиями:

Суммой двух событий A и B называют событие C, состоящее в появлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе. В частности, если события несовместные, то суммой этих событий называют событие, состоящее в появлении одного из этих событий.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называют событие С, состоящее в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример 3. Пусть событие А - выпадение 2, или 3, или 5, или 6 при бросании игральной кости. Событие В- выпадение 3, или 4, или 5 при бросании игральной кости. Тогда сумма событий А и В будет событие – выпадение 2, или 3, или 4, или 5, или 6 при бросании игральной кости. Произведением двух событий А и В будет событие - выпадение 3 или 5 при бросании игральной кости.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, сумма событий полной группы есть достоверное событие - . Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными. Если одно из противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .