Тема 3. Неравенство Рао-Крамера

1. Вспомогательная функция

2. Неравенство Рао-Крамера

Пусть выборка из генеральной совокупности ; - случайная величина с плотностью распределения , где неизвестный параметр распределения.

Рассмотрим функцию

,

которая при фиксированном представляет собой плотность распределения вероятности выборки . Если - случайный вектор, то - случайная величина, зависящая от параметра .

Введем также функцию

.

Пусть функция - оценка параметра , причем ,где - смещение оценки . Выразим через :

. (1)

Известно, что

, (). (2)

Продифференцируем (1) по (используя дополнительно условие, что производную по можно вносить под знак интеграла).

_{Получим}

_{. (3)}

Так как

,

то из (3) имеем:

_{. (4)}

Продифференцируем по выражение (2):

_{. (5)}

Обозначим .

Умножим выражение (5) на и вычтем из (4):

или

_{. (6)}

Правая часть (6) представляет собой квадрат ковариации между величинами и , т. е. , так как _.

Коэффициент корреляции

,

и так как , (т.е. ),

то

или

.

Отсюда

(7)

Полученное выражение называется неравенством Рао-Крамера.

Здесь

_.

Таким образом, - представляет собой сумму одинаково распределенных независимых случайных величин

,

причем согласно (5), .

Значит

_{. (8)}

Используя (8), имеем

.

Если оценка является несмещенной, т. е. , то

.

Еще раз отметим, что мы предполагали, что плотность допускает дифференцирование по выражений (1) и (2) под знаком интеграла.

Справедлива также теорема: В классе несмещенных оценок эффективная оценка единственна.

Пример. Проверить: является или нет эффективной оценкой для математического ожидания нормально распределенной случайной величины .

Решение. Пусть имеем - выборку из , где параметр - неизвестен.

Оценкой для является .Найдем

.

Найдем правую часть неравенства Рао-Крамера:

,

;

,

,

,

.

Таким образом является эффективной оценкой для параметра .