Тема
3. Неравенство
Рао-Крамера
Пусть
выборка
из
генеральной
совокупности
;
-
случайная
величина с
плотностью распределения
, где
неизвестный
параметр
распределения.
Рассмотрим
функцию
,
которая
при
фиксированном
представляет
собой
плотность
распределения
вероятности
выборки
. Если
-
случайный
вектор, то
-
случайная
величина,
зависящая от
параметра
.
Введем
также
функцию
.
Пусть
функция -
оценка
параметра
, причем
,где
-
смещение
оценки
.
Выразим
через
:
. (1)
Известно,
что
,
(
).
(2)
Продифференцируем
(1) по (используя
дополнительно
условие, что
производную
по
можно
вносить под
знак
интеграла).
Получим
. (3)
Так
как
,
то
из (3) имеем:
. (4)
Продифференцируем
по выражение
(2):
. (5)
Обозначим
.
Умножим
выражение (5)
на и
вычтем из (4):
или
. (6)
Правая
часть (6)
представляет
собой
квадрат ковариации
между
величинами и
, т. е.
, так как
.
Коэффициент
корреляции
,
и
так как , (т.е.
),
то
или
.
Отсюда
(7)
Полученное
выражение
называется неравенством
Рао-Крамера.
Здесь
.
Таким
образом, -
представляет
собой сумму
одинаково
распределенных
независимых
случайных
величин
,
причем
согласно (5), .
Значит
. (8)
Используя
(8), имеем
.
Если
оценка является
несмещенной,
т. е.
, то
.
Еще
раз отметим,
что мы
предполагали,
что плотность
допускает
дифференцирование
по
выражений
(1) и (2) под
знаком
интеграла.
Справедлива
также теорема:
В классе
несмещенных
оценок
эффективная оценка
единственна.
Пример.
Проверить:
является или
нет эффективной
оценкой для
математического
ожидания
нормально
распределенной
случайной
величины
.
Решение.
Пусть имеем -
выборку из
, где
параметр
-
неизвестен.
Оценкой
для является
.Найдем
.
Найдем
правую часть
неравенства
Рао-Крамера:
,
;
,
,
,
.
Таким
образом является
эффективной
оценкой для параметра
.